Через точки D, K и ∥ AC. (На рисунке… (геометрия)

№ Сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой

Через точки $D$ , $K$ и $∥ A C$ . (На рисунке: параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , точка $K$ лежит на ребре $A A_{1}$ , $A K = x$ , $K A_{1} = 2 x$ .)

Решение

Нужно построить сечение плоскостью, проходящей через и параллельно . Пусть , .

Плоскость параллельна , поэтому в плоскости основания она пересекается по прямой, проходящей через параллельно . Эта прямая пересекает прямую в точке (за точкой ), причём . Она пересекает прямую в точке (за точкой ), причём .
Точки и лежат в грани . Проводим прямую . Высота точки над равна при расстоянии . Значит, над точкой (расстояние от ) высота равна . Прямая пересекает ребро в точке , где , .
Точки и лежат в грани . Проводим прямую . Над точкой (середина ) высота равна . Прямая пересекает ребро в точке , где .
Соединяем , , , : лежит в грани , в грани , в грани , в грани .

Проверка: и , где — единичный вектор вдоль . Значит, , и сечение — параллелограмм.

💡 Почему так

Если плоскость параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то она пересекает эту плоскость по прямой, параллельной данной.

Ответ

Сечение — параллелограмм , где (), ().

№ Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

Через точки $A$ , $P$ , $Q$ . (На рисунке: параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , $P$ — середина ребра $A_{1} D_{1}$ , $Q$ — середина ребра $C C_{1}$ .)

Решение

Точки и лежат в грани . Продолжаем до пересечения с прямой в точке . Так как — середина , то , то есть .
Точки и лежат в грани . Проводим и находим точку пересечения с ребром . Из подобия треугольников и получаем .
Точки и лежат в верхней грани, соединяем их: .
Находим четвёртую вершину. Пусть , , . Тогда сечение задаётся уравнением в координатах по , , (проверка: , , ). Пересечение с ребром (, ) даёт . Значит, плоскость пересекает в точке , где . В основании проводим , в грани — .
Сечение — пятиугольник : — в грани , — в верхней грани, — в грани , — в грани , — в нижней грани.

💡 Почему так

Чтобы построить сечение, на каждой грани соединяют две точки плоскости сечения. Если на грани лежит только одна точка, находят вторую с помощью продолжения прямых до пересечения.

Ответ

Сечение — пятиугольник : (), ().

Помогло?

Через точки D, K и ∥ AC. (На рисунке: параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, точка…