Гл. ВП Число общих точек прямой и окружности
Может ли окружность пересекать прямую более чем в двух точках? Обоснуйте свой ответ.
Решение
Нет, не может: прямая не может иметь с окружностью более двух общих точек.
Обоснование. Предположим, что некоторая прямая пересекает окружность с центром в трёх точках , , . Тогда точка равноудалена от концов отрезка (как центр окружности, ) и равноудалена от концов отрезка (), поэтому лежит на серединном перпендикуляре к отрезку и на серединном перпендикуляре к отрезку . Прямые и перпендикулярны одной и той же прямой , значит, они параллельны; но у них есть общая точка , поэтому и совпадают. Тогда эта общая прямая перпендикулярна прямой сразу в двух разных точках — середине и середине (они различны, так как , , различны), а это невозможно: прямая, перпендикулярная данной прямой, пересекает её только в одной точке. Полученное противоречие доказывает, что трёх общих точек быть не может.
Ответ
Нет: прямая может иметь с окружностью не более двух общих точек.
