№ Центр описанной окружности прямоугольного треугольника
Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
Решение
Дано: , .
Найти: доказать, что центр описанной окружности — середина гипотенузы .
Решение.
Рассмотрим окружность с диаметром и центром в середине отрезка . Так как , то по свойству (п. , обратное свойству видимости диаметра под прямым углом) точка лежит на этой окружности. Точки и также лежат на ней как концы диаметра.
Значит, окружность с центром и радиусом проходит через все три вершины треугольника , то есть является описанной около него. Так как около треугольника можно описать только одну окружность (п. , замечание ), эта окружность и есть окружность, описанная около , а её центр — середина гипотенузы .
Ответ
Доказано: центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина его гипотенузы.
