Дано: — точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника при вершинах и .
Найти: доказать, что равноудалена от прямых , , .
Решение. Внешний угол при вершине образован стороной и продолжением стороны за точку — его сторонами, по сути, служат те же прямые и . Точка лежит на биссектрисе этого внешнего угла, значит, она равноудалена от его сторон — то есть от прямых и (теорема о биссектрисе угла применима к любому из двух углов, образованных парой прямых — внутреннему или внешнему, так как и тот и другой «заключён» между теми же прямыми , ):
Аналогично, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине , образованного прямыми и , значит
Из двух равенств получаем
то есть точка
равноудалена от всех трёх прямых
,
,
.
