№ Построение точки на прямой на данном расстоянии от точки
Даны прямая a, точка B, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку M на прямой a так, чтобы BM=PQ. Всегда ли задача имеет решение?
Решение
Построение. Проведём окружность с центром радиусом . Если она пересекает прямую , то любая точка пересечения и есть искомая точка , так как — радиус этой окружности, равный .
Пусть — расстояние от точки до прямой (длина перпендикуляра, опущенного из на ). Тогда:
— если , окружность пересекает прямую в двух точках — два решения;
— если , окружность касается прямой в одной точке (основании перпендикуляра) — одно решение;
— если , окружность не доходит до прямой — решений нет.
💡 Почему так
Окружность и прямая могут иметь не более двух общих точек; какая из трёх ситуаций выполняется, зависит от того, как радиус соотносится с расстоянием от центра до прямой.
Ответ
Не всегда: решение есть, только если не меньше расстояния от до прямой (два решения, если больше, одно — если равно); если меньше этого расстояния, решения нет.
