ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер ЕГЭ 16.43

ЕГЭ .

Медиана и биссектриса прямоугольного треугольника

Медиана $AM$ и биссектриса $CD$ треугольника $ABC$ с прямым углом $B$ пересекаются в точке $O$ . Найдите площадь треугольника $ABC$ , если $CO=9$ и $OD=5$ .

Решение

Дано: , , , — биссектриса, , , . Найти площадь.

Положим , , . Расположим , , . Тогда середина гипотенузы? Здесь — середина , поскольку — медиана; значит, .

Так как , точка делит в отношении , поэтому . На медиане точка с высотой соответствует доле пути от к , следовательно, её абсцисса . Равенство абсцисс даёт , то есть и .

По теореме о биссектрисе . Значит, . По теореме Пифагора , откуда и .

Теперь . По теореме Пифагора . С другой стороны, , значит, , . Площадь прямоугольного треугольника .

Ответ

Помогло?

Номер ЕГЭ 16.43