Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.
Дано: прямые пересекаются в
-
Если
внутри круга, то по теореме о пересекающихся хордах (п. ) . Кроме того, . -
Две положительные длины определяются своей суммой
и произведением : обе являются корнями уравнения . Поэтому неупорядоченные пары и совпадают. Соответственно совместив ближние и дальние концы, получаем равенство расстояний. -
Если
вне круга, по теореме о секущих из одной точки . Длина хорды равна разности расстояний до дальнего и ближнего её концов, поэтому . -
Положительные числа с одинаковым произведением и одинаковой абсолютной разностью образуют одну и ту же пару: если меньшая длина
, большая , то однозначно определяет . Значит, и во внешнем случае соответствующие расстояния равны.
Вывод: пары расстояний от
Расстояния до ближних концов равны, как и расстояния до дальних концов.
