Точка лежит внутри четырёхугольника . Докажите, что тогда и только тогда, когда окружности, описанные около треугольников и , имеют в точке общую касательную.
Дано:
-
Пусть
— общая касательная в , проходящая внутри угла . По теореме об угле между касательной и хордой для окружности угол между и равен . Для окружности угол между и равен . Эти два смежных внутри угла дают . -
Обратно, пусть выполнено данное равенство. Через
проведём касательную к окружности в той полуплоскости, где она делит угол . По теореме о касательной и хорде . -
Вычитая этот угол из
, получаем . Обратная теорема об угле между касательной и хордой утверждает, что прямая касается также окружности в .
Вывод: равенство углов выполняется в точности при общей касательной в
Указанное равенство равносильно наличию общей касательной в
