№ Знак дроби (доказательство)
Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:
а) x2+13 положительно;
б) y2+4−5 отрицательно;
в) a2+10(a−1)2 неотрицательно;
г) −b2−1(b−3)2 неположительно.
Решение
а) При любом верно , значит — знаменатель всегда положителен. Числитель . Значит вся дробь положительна.
б) , значит — знаменатель всегда положителен. Числитель . Дробь (положительное в знаменателе, отрицательное в числителе) отрицательна.
в) Числитель при любом . Знаменатель при любом . Значит дробь — частное неотрицательного числа на положительное, то есть неотрицательна.
г) Числитель при любом . Знаменатель , а , значит при любом . Дробь — частное неотрицательного числа на отрицательное, то есть неположительна.
Ответ
а) и числитель положителен — дробь положительна при любом .
б) и числитель отрицателен — дробь отрицательна при любом .
в) , — дробь неотрицательна при любом .
г) , — дробь неположительна при любом .
