№ Геометрический смысл разности квадратов
С помощью рисунка 87 разъясните геометрический смысл формулы (a−b)(a+b)=a2−b2 для положительных a и b, удовлетворяющих условию a>b.
На рисунке 87: квадрат со стороной a, в его левом нижнем углу выделен квадрат со стороной b; нижняя полоска квадрата справа от него — прямоугольник b×(a−b), а такой же прямоугольник (a−b)×b пристроен к квадрату справа сверху, так что верхняя часть фигуры — прямоугольник со сторонами a+b и a−b.
Решение
Возьмём квадрат со стороной (площадь ). Отметим в одном из его углов квадрат со стороной (это возможно, так как ) и вырежем его. Останется Г-образная фигура («уголок»), её площадь равна разности площадей: .
Разрежем этот уголок на два прямоугольника прямой линией: один — со сторонами и , другой — со сторонами и (оба прямоугольника имеют общую сторону длиной ). Приложим второй прямоугольник к первому так, чтобы стороны длиной совпали, а стороны и образовали одну общую сторону. Получим прямоугольник со сторонами и .
Площадь фигуры при разрезании и перекладывании не изменилась, поэтому площадь исходного уголка () равна площади полученного прямоугольника: . Значит, .
💡 Почему так
Перекраивание фигуры (разрезание и перекладывание частей без наложения) не меняет её площадь — это и позволяет сравнить площадь «уголка» с площадью прямоугольника .
Ответ
Квадрат со стороной без квадрата со стороной (площадь ) перекраивается в прямоугольник со сторонами и (площадь ), значит .
