ГДЗ Алгебра 11 класс Мерзляк, номер 28.324

№ .

Упрощение тригонометрических выражений

Упростите выражение:

$4 sin α cos^{3} α - 4 sin^{3} α cos α$ ;
$sin \frac{α}{4} cos \frac{α}{4} cos \frac{α}{2}$ ;
$\frac{sin 6 α}{sin 2 α} + \frac{cos 6 α}{cos 2 α}$ ;
$\frac{ctg α + tg α}{ctg α - tg α}$ ;
$\frac{cos α}{tg ^{2} \frac{α}{2} - ctg ^{2} \frac{α}{2}}$ ;
$\frac{1 - 2 sin ^{2} 2 α}{2 tg ( \frac{3 π}{4} - 2 α ) cos ^{2} ( \frac{3 π}{4} + 2 α )}$ ;
$\frac{2 cos ^{2} α - 1}{2 ctg ( \frac{π}{4} - α ) sin ^{2} ( \frac{π}{4} - α )}$ ;
$\frac{cos ^{4} ( α - π )}{cos ^{4} ( α - \frac{3 π}{2} ) + sin ^{4} ( α + \frac{3 π}{2} ) - 1}$ .

Решение

Все преобразования выполняем при тех значениях , при которых исходное выражение определено: знаменатели и знаменатели тангенсов и котангенсов должны быть ненулевыми.

) Выносим общий множитель и применяем формулы двойного угла:

) Дважды используем :

) Приводим дроби к общему знаменателю. По формуле синуса суммы

Поскольку , сокращение даёт .

) По определениям тангенса и котангенса умножаем числитель и знаменатель на :

Здесь использованы основное тождество и формула косинуса двойного угла.

) Положим . По основному тождеству

Следовательно, исходная дробь равна .

) Обозначим . Второй угол равен , поэтому по приведению . Знаменатель равен . Числитель равен

Деление и сокращение дают .

) Пусть . Знаменатель . Числитель также равен , поэтому дробь равна .

) По формулам приведения числитель равен , а знаменатель — . Основное тождество даёт

После сокращения получаем . Эти результаты верны на области допустимых значений исходных выражений.

💡 Почему так

В пункте в ответах учебника указано −. Для напечатанного выражения верно . Например, при числитель равен , знаменатель равен , и дробь равна . В условии, по-видимому, опечатка: если в аргументе косинуса заменить «» на «», знаменатель будет равен , и дробь действительно упростится до −. Выше решено выражение с напечатанными знаками.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Номер 28.324 ГДЗ Алгебра 11 класс, Мерзляк 2024, страница 286