№ Делимость методом математической индукции
Доказать, что при любом натуральном n число: 1) 62n−1+1 делится на 7; 2) 4n+15n−1 делится на 9.
Решение
- Обозначим . База индукции: при имеем , оно делится на .
Переход: пусть делится на . По свойству степени . Поэтому
Оба слагаемых последней разности делятся на : первое — по предположению индукции, второе — явно. Следовательно, делится на . По принципу математической индукции это верно при любом натуральном .
- Обозначим . База: , значит, делится на .
Переход: предположим, что делится на . Раскроем выражение для следующего номера и выделим :
Первое слагаемое делится на по предположению, второе содержит множитель . Значит, делится на . База и переход доказаны, поэтому утверждение верно для всех натуральных .
