ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 405

№

Математическая индукция

Методом математической индукции доказать, что для любого натурального $n$ справедливы равенства: 1) $1+3+5+\ldots +(2n-1)=n^2$ ; 2) $3+5+7+\ldots +(2n+1)=n(n+2)$ ; 3) $1+2+4+\ldots +2^{n-1}=2^n-1$ ; 4) $3+9+27+\ldots +3^n=\frac32(3^n-1)$ .

Решение

В каждом пункте применяем принцип математической индукции: проверяем , затем к сумме для добавляем следующий член и получаем формулу для .

При имеем . Предположим, что сумма первых нечётных чисел равна . Следующий член равен . Поэтому по формуле квадрата суммы. Переход доказан.
При имеем . Следующий член после есть . По предположению индукции . Это требуемая формула с заменой на .
При имеем . К сумме первых слагаемых прибавляем . Тогда по свойству степени.
При левая часть равна , правая — . Следующий член — . По предположению индукции . База и переход выполнены в каждом пункте.

Ответ

Все четыре равенства верны при любом натуральном .

Помогло?

Номер 405