Если уравнения равносильны, каждый корень первого должен быть корнем второго. Угол удовлетворяет первому уравнению при любом : и .
Подставим этот угол во второе уравнение: . Получаем . Следовательно, возможны только и .
Проверим обе возможности полностью.
При . По формуле двойного угла § первое уравнение становится .
Группировка даёт . Поскольку , вторая скобка ненулевая. Значит, первое уравнение задаёт только .
Второе уравнение при имеет вид . После переноса .
Корень недопустим, поэтому опять . Множества корней совпали: оба уравнения дают .
При . Первое уравнение раскладывается в .
Например, является его корнем, потому что .
Второе уравнение после замены даёт . Умножаем на : ; значит, или .
Но при имеем , что не равно ни , ни . Значит, этот корень первого уравнения не является корнем второго, и не подходит.
Остаётся единственное значение , при котором равносильность доказана.
