ГДЗ по алгебре 10 класс Колягин, номер 345

№

Тождество для корней кубического уравнения

Пусть $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ — корни уравнения $x^3+px+q=0$ . Доказать, что $x_1^3+x_2^3+x_3^3=3x_1x_2x_3$ .

Решение

У данного приведённого кубического уравнения коэффициент при равен нулю. Поэтому по формуле Виета .

Применим тождество для суммы кубов трёх чисел: . Его можно проверить раскрытием скобок: смешанные члены попарно сокращаются, а произведение возникает трижды с обратным знаком.

Первый множитель справа равен нулю по теореме Виета. Следовательно, вся правая часть равна нулю, то есть . Переносим произведение в правую часть и получаем требуемое равенство.

Ответ

Помогло?

Номер 345