ГДЗ Алгебра 10-11 класс Алимов, номер 190

№

Иррациональные неравенства

Решить неравенство:

$\frac{x^2 - 13x + 40}{\sqrt{19x - x^2 - 78}} \leqslant 0$ ;
$\frac{\sqrt{2x^2 + 7x - 4}}{x + 4} < \frac{1}{2}$ ;
$\sqrt{3 + x} > |x - 3|$ ;
$\sqrt{3 - x} < \sqrt{7 + x} + \sqrt{10 + x}$ .

Решение

Знаменатель — арифметический корень, он должен быть положителен: , . Корни: , , т. е. и . Значит, . Тогда знаменатель положителен, и дробь , когда числитель : , корни и (сумма , произведение ), т. е. . Общая часть: .

ОДЗ: (корни , т. е. и ), т. е. или ; кроме того, . Поэтому или .
а) : знаменатель отрицателен, числитель неотрицателен, значит, дробь — неравенство верно.
б) : знаменатель положителен, умножаем на : . Возводим в квадрат: , . , , т. е. и . Решение: . С условием : .
Объединяем: или .
ОДЗ: . Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: , , , (входит в ОДЗ).
ОДЗ: , , , т. е. . Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

а) Если , т. е. , то неравенство верно: .
б) Если , возводим в квадрат: , , , , т. е. и . Решение: . С условием: .
Объединяем: .

💡 Почему так

Дробное иррациональное неравенство сводим к системе: знаменатель-корень положителен, знак дроби определяем по знаку числителя; во втором неравенстве разбираем знак знаменателя.

Ответ

;
, ;
;
.

Помогло?

Номер 190 ГДЗ Алгебра 10–11 класс, Алимов 2023, страница 71