Запишите в виде степени с рациональным показателем… (алгебра)

№ Запись корня в виде степени

⚠️

Задание (решить уравнения, построив графики степенных функций) обрезано: самих уравнений на фото не видно, поэтому оно не решено. Чтобы его решить, переснимите нижнюю часть страницы целиком, ближе и крупнее.

Запишите в виде степени с рациональным показателем:

$2$ ;
$\frac{3}{3}$ ;
$\frac{1}{2 2}$ ;
$325$ ;
$427$ ;
$3 (\frac{1}{5})^{2}$ .

Решение

💡 Почему так

и .

Ответ

;
;
;
;
;

№ Запись степени с помощью радикалов

Запишите с помощью радикалов:

$3^{\frac{1}{2}}$ ;
$2^{- \frac{3}{2}}$ ;
$5^{\frac{2}{3}}$ ;
$3^{- \frac{6}{5}}$ ;
$(\frac{2}{3})^{- \frac{10}{3}}$ ;
$5^{0, 5}$ ;
$2^{- 0, 25}$ ;
$(\frac{1}{3})^{- \frac{2}{5}}$ ;
$2^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{5}}$ ;
$(\frac{3}{4})^{- \frac{1}{2}}$ .

Решение

💡 Почему так

, а отрицательный показатель переворачивает основание.

Ответ

;
;
;
;
;
;
;
;
;

№ Действия со степенями с рациональным показателем

Выполните действия:

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}}$ ;
$(\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4 ^{\frac{5}{6}}})^{3}$ ;
$\frac{3 3 9}{4 27}$ ;
$\frac{a ^{\frac{2}{3}} a ^{- \frac{5}{4}}}{a ^{\frac{3}{2}} a ^{- \frac{1}{3}}}$ ;
$((a^{2})^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}}$ ;
$\frac{3 ^{\frac{1}{3}} \cdot 7 ^{\frac{1}{3}}}{9 ^{\frac{1}{3}}}$ .

Решение

.
, поэтому
, , . Показатель под корнем:

Тогда .
Числитель: . Знаменатель: .
.
.

💡 Почему так

При умножении степеней с одним основанием показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении в степень перемножаются.

Ответ

;
;
;
;
;

№ Сравнение степеней

Расположите числа в порядке возрастания:

$2^{- \frac{3}{4}}$ ; 2; $\frac{1}{2}$ ; $2^{\frac{2}{3}}$ ; $2^{- \frac{4}{3}}$ ;
$(\frac{1}{3})^{2}$ ; $(\frac{1}{3})^{- \frac{1}{2}}$ ; $9^{- \frac{1}{3}}$ ; $3^{\frac{3}{4}}$ ; $(\frac{1}{9})^{- \frac{3}{2}}$ ;
$2^{4}$ ; $(\frac{3}{2})^{4}$ ; $(- 3)^{4}$ ; $(- \frac{3}{4})^{- 4}$ ; $(\frac{9}{25})^{2}$ ;
$3^{3}$ ; $(- 2)^{3}$ ; $(\frac{1}{27})^{- 2}$ ; $(\frac{2}{3})^{- 3}$ ; $2^{6}$ .

Решение

Все числа приводим к основанию (основание больше , значит, чем больше показатель, тем больше число): ; ; ; ; . Показатели по возрастанию: .
Приводим к основанию : ; ; ; ; . Показатели: .
Считаем: ; ; ; ; .
Считаем: ; ; ; ; .

Ответ

; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ;

№ Доказательство неравенств

Докажите неравенство:

$(\frac{1}{4})^{- \frac{3}{2}} < (\frac{1}{27})^{- \frac{2}{3}}$ ;
$3^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}} > 5^{\frac{1}{5}}$ ;
$200 3^{\frac{1}{2}} + 200 5^{\frac{1}{2}} < 2 \cdot 200 4^{\frac{1}{2}}$ ;
$2^{\frac{1}{100}} + 10 1^{- 1} > 1$ .

Решение

, . Так как , неравенство верно.
Сравним и . Возведём обе части в степень : и . Так как , то .
Сравним и . Возведём в степень : и . Так как , то .
Пусть . Нужно доказать . Обе части положительны, возводим в квадрат:

Последнее верно, так как .
, потому что основание больше , а показатель положителен. Также . Поэтому сумма больше .

Ответ

Все неравенства доказаны.

Помогло?

Запишите в виде степени с рациональным показателем: 1) √2; 2) √33; 3)…