Вычислите: а) (√3+2√2)²-4√6; б) (√5-√15)²+√300; в) (√3-√5)²+√60-(2√2)²; г)… (алгебра)

№ .

Вычисление значений выражений с корнями

⚠️

Не решены: . (на фото видны только пункты г–е, начала и условия нет) и . (обрезано снизу, выражение не прочитать). Снимите их целиком, ближе и крупнее, по – задания на фото.

Вычислите:
а) $(\sqrt{3}+2\sqrt{2})^{2}-4\sqrt{6}$ ; б) $(\sqrt{5}-\sqrt{15})^{2}+\sqrt{300}$ ;
в) $(\sqrt{3}-\sqrt{5})^{2}+\sqrt{60}-(2\sqrt{2})^{2}$ ; г) $(3\sqrt{7}-2)^{2}+(6+\sqrt{7})^{2}$ ;
д) $(\sqrt{3}+1)^{2}(4-2\sqrt{3})$ ; е) $(2\sqrt{5}-3)^{2}(29+12\sqrt{5})$ .

Решение

а) , тогда .

б) ; ; .

в) ; ; ; .

г) ; ; сумма .

д) ; .

е) ; .

💡 Почему так

Формулы квадрата суммы и разности и разность квадратов: .

Ответ

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е)

№ .

Избавление от иррациональности в знаменателе

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) $\frac{12}{\sqrt{3}}$ ; б) $\frac{7}{\sqrt{21}}$ ; в) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ ; г) $-\frac{8}{5\sqrt{2}}$ .

Решение

а) .

б) .

в) .

г) .

💡 Почему так

Числитель и знаменатель умножаем на корень из знаменателя.

Ответ

а) ; б) ; в) ; г)

№ .

Упрощение выражений с дробями и корнями

Упростите выражение:
а) $\sqrt{2}-\frac{10}{\sqrt{2}}$ ; б) $\frac{15}{\sqrt{5}}+7\sqrt{5}$ ; в) $\left(\frac{12}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\right)\cdot\sqrt{3}$ .

Решение

а) , тогда .

б) , тогда .

в) ; .

Ответ

а) ; б) ; в)

№ .

Избавление от иррациональности в знаменателе

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ ; б) $\frac{11}{7-\sqrt{5}}$ ; в) $\frac{8}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ ; г) $\frac{14}{3\sqrt{3}-\sqrt{13}}$ .

Решение

а) .

б) .

в) .

г) .

💡 Почему так

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение и используем .

Ответ

а) ; б) ; в) ; г)

№ .

Значение выражения с иррациональными знаменателями

Найдите значение выражения:
а) $\frac{8}{\sqrt{11}-3}+\frac{10}{3+\sqrt{11}}$ ; б) $\frac{3}{1-\sqrt{7}}-\frac{1}{\sqrt{7}+3}$ ;
в) $\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ ; г) $\frac{10}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}-\frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$ .

Решение

а) ; . Сумма: .

б) ; .
.

в) ; .
Разность: .

г) ; .
Разность: .

Ответ

а) ; б) ; в) ; г)

№ .

Упрощение выражений: корень из квадрата

Упростите выражение:
а) $\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}$ ; б) $\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}$ ;
в) $\sqrt{(4-3\sqrt{2})^{2}}-4$ ; г) $\sqrt{(5-\sqrt{7})^{2}}-\sqrt{(3-\sqrt{7})^{2}}$ .

Решение

Используем .

а) , так как .

б) , так как .

в) , значит ; .

г) , (так как ): .

Ответ

а) ; б) ; в) ; г)

№ .

Упрощение выражений: выделение полного квадрата под корнем

Упростите выражение:
а) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ ; б) $\sqrt{11-4\sqrt{7}}$ ; в) $\sqrt{7-2\sqrt{10}}$ .

Решение

а) , значит корень равен .

б) , значит (так как ).

в) , значит .

Ответ

а) ; б) ; в)

№ .

Значение выражения с вложенными корнями

Найдите значение выражения:
а) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8-2\sqrt{7}}$ ; б) $\sqrt{28-10\sqrt{3}}+\sqrt{28+10\sqrt{3}}$ .

Решение

а) . Тогда .

б) . Тогда .

Ответ

а) ; б)