Вертикальные углы — Смежные углы — (геометрия)

Определения вертикальных и смежных углов

Вертикальные углы —
Смежные углы —

Решение

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых: стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Смежные углы имеют одну общую сторону, а две другие стороны образуют прямую.

💡 Почему так

Вертикальные углы равны. Сумма смежных углов равна .

Ответ

Вертикальные углы — углы, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого.
Смежные углы — углы, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую (сумма ).

№ Углы при пересечении двух прямых

Две прямые пересекаются. Один из образовавшихся углов равен $3 5^{\circ}$ . Найдите остальные три угла.

Решение

Пусть .
Смежный с ним угол: .
Вертикальный с угол равен .
Угол, вертикальный со смежным, равен .

💡 Почему так

Вертикальные углы равны, смежные в сумме дают .

Ответ

, , (вместе с данным: )

№ Сумма двух несмежных углов

При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух из них, не являющихся смежными, равна $22 0^{\circ}$ . Найдите величину каждого из четырех углов.

Решение

Несмежные углы при пересечении двух прямых — вертикальные, значит, они равны.
— каждый из них.
Остальные два угла смежные с ними: .
Проверка: .

💡 Почему так

Несмежные углы здесь вертикальные, а вертикальные углы равны.

Ответ

, , ,

№ Разность смежных углов

Разность двух смежных углов равна $4 0^{\circ}$ . Найдите эти углы.

Решение

Пусть углы и , .

Складываем:

💡 Почему так

Сумма смежных углов равна .

Ответ

Смежные углы, один в раза больше другого

Один из смежных углов в 4 раза больше другого. Найдите эти углы. (Номер на фото не виден, вероятно, 4.)

Решение

Пусть меньший угол , тогда другой .

Второй угол:

💡 Почему так

Сумма смежных углов равна .

Ответ

№ Сумма трёх углов при пересечении прямых

Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна $31 5^{\circ}$ . Найдите величину каждого из четырех углов.

Решение

Сумма всех четырёх углов равна .
Четвёртый угол: .
Вертикальный с ним угол тоже .
Два других угла смежные с ним: .
Проверка: — это лишь два угла по и один ; сумма трёх углов верна.

💡 Почему так

Четыре угла при пересечении двух прямых в сумме дают .

Ответ

, , ,

№ Биссектриса угла при пересечении прямых

Прямые AB и CD пересекаются в точке O. Луч OK — биссектриса угла AOC. Найдите угол BOK, если угол AOC равен $8 0^{\circ}$ .

Решение

OK — биссектриса, поэтому .
Углы AOK и BOK смежные (A, O, B лежат на одной прямой):

💡 Почему так

Биссектриса делит угол пополам, а смежные углы в сумме дают .

Ответ

№ Углы при пересечении, один на ° меньше

При пересечении двух прямых один из углов на $6 0^{\circ}$ меньше другого. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение

Эти углы смежные (вертикальные были бы равны). Пусть меньший , больший .

Больший угол:

.
Вертикальные им углы равны

💡 Почему так

Вертикальные углы равны, поэтому углы разной величины смежные.

Ответ

, , ,

№ Угол между биссектрисами смежных углов

Найдите угол между биссектрисами двух смежных углов.

Решение

Пусть смежные углы и . Биссектрисы делят их на углы и . Угол между биссектрисами равен их сумме:

💡 Почему так

Не зависит от величины углов: биссектрисы смежных углов всегда перпендикулярны.

Ответ

№ Луч внутри развёрнутого угла

На прямой отмечены точки A, B и C (B лежит между A и C). Из точки B проведен луч BD так, что угол ABD в 5 раз больше угла DBC. Найдите угол DBC.

Решение

Углы ABD и DBC смежные, их сумма . Пусть , тогда .

💡 Почему так

Смежные углы в сумме дают .

Ответ

№

Биссектрисы смежных углов, один в раз больше

Две прямые пересекаются в точке M. Один из углов в 9 раз больше другого. Найдите угол между лучами, которые являются биссектрисами этих углов.

Решение

Углы разной величины — смежные. Пусть меньший , больший .

Биссектрисы делят углы на

.
Угол между биссектрисами:

💡 Почему так

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Ответ

Помогло?