В треугольнике ABC с наибольшим углом C проведены биссектрисы BP и AQ.…

Геометрия9 классРешено по фото 11 октября 2026 в 11:07

№ .Биссектрисы и перпендикуляры к ним в треугольнике

В треугольнике $A B C$ с наибольшим углом $C$ проведены биссектрисы $B P$ и $A Q$ . Из вершины $C$ опущены перпендикуляры $C R$ и $C S$ на $B P$ и $A Q$ соответственно. Вычислите длину $R S$ , если $C R = 68$ , $sin ∠ C A Q = \frac{5}{13}$ , а $sin ∠ C B P = \frac{8}{17}$ .

Решение

Обозначим , , .

. Идея. Отразим относительно биссектрисы . Точка попадёт на прямую , причём , а — середина . Аналогично отражение относительно даёт точку на с , а — середина . Тогда — средняя линия треугольника :

Угол наибольший, значит — наибольшая сторона, то есть и . Точка лежит на на расстоянии от , точка — на расстоянии от . Отрезки и перекрываются на длину , поэтому

. Сторона . В прямоугольном треугольнике имеем :

. Синусы и косинусы углов. Пусть , тогда . Пусть , тогда .

. Стороны. По теореме синусов , , , где .

Сторона наибольшая, это согласуется с условием.

. Длина .

💡 Почему так

Основания перпендикуляров из вершины на биссектрисы двух других углов лежат на средней линии треугольника. Длина отрезка между ними равна .

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Есть ещё задание?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.

Решить по фото

Решить своё по фото