В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A… (геометрия)

№ Углы трапеции

⚠️

Не решены: задание в середине страницы, где начало условия про периметр см закрыто и обрезано (не видно, чей это периметр); задание слева «Дано: BE = EC; ∠ = ∠. Доказать: AD = DB» (чертежа не видно); задание ③ на левой странице (закрыто пальцами). Переснимите без пальцев, крупнее, по – задания на фото.

В трапеции $A B C D$ с основаниями $A D$ и $B C$ угол $A$ равен $5 0^{\circ}$ , а угол $C$ равен $10 0^{\circ}$ . Найдите остальные углы трапеции.

Решение

Так как , углы и — односторонние при секущей , их сумма :

Углы

— односторонние при секущей

💡 Почему так

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна , так как основания параллельны.

Ответ

№ Периметр треугольника из средних линий

Точки $P$ , $R$ и $S$ — середины сторон треугольника $A B C$ . Периметр треугольника $A B C$ равен 12 см. Найдите периметр треугольника $P R S$ .

Решение

Пусть — середина , — середина , — середина .

, , — средние линии треугольника , каждая равна половине параллельной ей стороны:

💡 Почему так

Периметр треугольника из средних линий вдвое меньше периметра данного треугольника.

Ответ

см

№ Прямая через середины противолежащих сторон параллелограмма

Докажите, что прямая, проходящая через середины противолежащих сторон параллелограмма, проходит через точку пересечения его диагоналей.

Решение

Пусть — параллелограмм, — середина , — середина , — точка пересечения диагоналей.

и , поэтому и .
Значит, — параллелограмм (две стороны равны и параллельны).
Диагонали параллелограмма — и — точкой пересечения делятся пополам. Значит, проходит через середину .
Середина — это , так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, прямая проходит через точку . Что и требовалось доказать.

💡 Почему так

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, а у параллелограмма середина лежит на .

Ответ

Доказано.

Стороны треугольника по периметру треугольника из средних линий

Стороны треугольника относятся как 7:8:11. Периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен 52 см. Найдите стороны данного треугольника.

Решение

Периметр треугольника из средних линий вдвое меньше периметра данного треугольника:

Пусть стороны равны

Стороны:

💡 Почему так

Каждая средняя линия равна половине соответствующей стороны, поэтому периметры относятся как : .

Ответ

см, см, см

№ Прямая через точку пересечения диагоналей параллелограмма

Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, параллельная одной его стороне. Докажите, что эта прямая проходит через середины двух других сторон параллелограмма.

Решение

Пусть — параллелограмм, — точка пересечения диагоналей, прямая через параллельна и пересекает в точке , а в точке .

В треугольнике точка — середина , . По теореме Фалеса — середина .
В треугольнике точка — середина , . По теореме Фалеса — середина .

Значит, прямая проходит через середины сторон и . Что и требовалось доказать.

💡 Почему так

Прямая, проведённая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, делит третью сторону пополам (теорема Фалеса).

Ответ

Доказано.

Помогло?

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A равен 50°,…