В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MH = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.
-
Треугольник MNH прямоугольный (
). Угол M:
-
В прямоугольном треугольнике MNH катет MH лежит против угла
, поэтому он равен половине гипотенузы MN:
-
Сторона MQ:
-
Противоположные стороны параллелограмма равны:
-
Противоположные углы равны:
. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна :
Катет, лежащий против угла
MN = PQ =
Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
Четырёхугольник выпуклый, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.
Пусть MNPQ — параллелограмм. Рассмотрим прямую MN. Противоположная сторона QP параллельна MN, значит, прямая QP не пересекает прямую MN и целиком лежит в одной полуплоскости относительно MN. Поэтому точки Q и P лежат по одну сторону от прямой MN, то есть весь параллелограмм лежит по одну сторону от прямой MN.
Точно так же, используя параллельность NP и MQ, QP и MN, MQ и NP, получаем, что параллелограмм лежит по одну сторону от каждой из прямых NP, PQ, QM.
Значит, параллелограмм лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону, то есть является выпуклым четырёхугольником.
Доказано: у параллелограмма противоположные стороны параллельны, поэтому он лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону, — значит, он выпуклый.
