Установите соответствие между графиками функций и… (алгебра)

№ Соответствие графиков и формул

⚠️

Задание не решено: масштаб сетки и координаты концов графика на фото не различить. Сфотографируйте этот график ближе и крупнее, отдельным снимком. В задании не видно, где именно заканчивается ветвь у оси y, поэтому построены только чётко видимые точки.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

$y = - \frac{1}{9 x}$ 2) $y = - 5 x - 4$ 3) $y = - \frac{x}{4} + 5$ 4) $y = 2 x^{2} - 8 x + 4$

Решение

А) График — парабола ветвями вверх, значит это квадратичная функция с : . Вершина: , . Это совпадает с рисунком.
Б) Прямая, круто убывающая. Это : угловой коэффициент , она пересекает ось в точке . Прямая убывает полого и проходит через , поэтому она не подходит.
В) Гипербола с ветвями во -й и -й четвертях: .

💡 Почему так

Парабола задаётся квадратичной функцией, прямая — линейной, гипербола — обратной пропорциональностью. Знак коэффициента при определяет, в каких четвертях лежат ветви. Формула лишняя.

Ответ

А — ; Б — ; В —

№ Чётность функции

Исследовать функцию на чётность/нечётность:
а) $y = \frac{x ^{5}}{x ^{3} + 2}$

Решение

Область определения: , то есть .
Точка исключена, а симметричная ей входит в область определения. Значит, область определения не симметрична относительно нуля.
Поэтому функция не может быть ни чётной, ни нечётной.
Проверка: . Это не равно ни , ни .

💡 Почему так

Для чётной или нечётной функции область определения должна быть симметрична относительно нуля.

Ответ

Функция ни чётная, ни нечётная.

№ Достроить график по чётности

На рисунке построена ветвь графика функции $y = f (x)$ . Постройте весь график этой функции, если известно, что:
а) $y = f (x)$ — нечётная функция;
б) $y = f (x)$ — чётная функция.

Решение

На ветви видны точки и .

а) Нечётная функция: , график симметричен относительно начала координат. Каждую точку заменяем на : и . Получаем ветвь, перевёрнутую вниз, в области .

б) Чётная функция: , график симметричен относительно оси . Каждую точку заменяем на : и . Получаем зеркальную «горку» справа от оси .

Точки A и B лежат на данной ветви, C и D — для случая а), C и E — для случая б).

💡 Почему так

Нечётная функция симметрична относительно начала координат, чётная — относительно оси ординат.

Ответ

а) Ветвь отражается симметрично относительно точки ; она проходит через точки и .
б) Ветвь отражается симметрично относительно оси ; она проходит через точки и .

№ Обратная функция

Найдите функцию, обратную функции $y = x^{2} + 4$ , $x > 0$ .

Решение

При получаем .
Выражаем : . Так как , берём положительный корень: .
Меняем обозначения: , .

💡 Почему так

Область определения обратной функции равна множеству значений исходной.

Ответ

№ Сложные функции

Какие из перечисленных функций являются сложными:

$y = \frac{5 x - 1}{4 + x}$ ;
$y = ctg (9 x - 4)$ ;
$y = x^{2} + 7 x + 1$ ;
$y = sin 3 x$

Решение

Сложная функция — это функция от функции, то есть внутри неё есть вложенная функция.

Это дробно-линейная функция — отношение двух линейных выражений. Она не сложная.
, где . Сложная.
Квадратичная функция. Она не сложная.
, где . Сложная.

Ответ

Помогло?

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают…