Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Точки K, M, P — точки отрезков AB, BC и CD соответственно. Постройте точку пересечения прямой AD с плоскостью (KMP), если это возможно, и докажите параллельность прямой KM плоскости (ACD).
В условии не сказано, как расположены K и M. Без этого
Построение точки пересечения AD с плоскостью (KMP)
- Так как
, плоскость (KMP) пересекает плоскость (ACD) по прямой, параллельной AC. Эта прямая проходит через общую точку P плоскостей (P лежит на CD). - В плоскости (ACD) проводим через P прямую, параллельную AC. Она пересекает AD в точке Q.
- Точка Q лежит на AD. Она лежит и в плоскости (KMP): прямая PQ параллельна KM и проходит через P, значит, лежит в (KMP).
Q — искомая точка:
Сечение — четырёхугольник KMPQ.
Общий случай (KM не параллельна AC): продлим KM до пересечения с AC в точке N. Тогда N лежит в плоскости (ACD) и в (KMP). Проводим прямую NP. Она лежит в обеих плоскостях, и её пересечение с AD — искомая точка Q.
Доказательство
- K и M — середины AB и BC, значит, KM — средняя линия треугольника ABC, и
. - Прямая AC лежит в плоскости (ACD).
- Прямая KM в плоскости (ACD) не лежит: иначе точка B лежала бы в плоскости (ACD), а по условию A, B, C, D не лежат в одной плоскости.
- По признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая вне плоскости параллельна некоторой прямой этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Значит,
.
Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то она пересекает эту плоскость по прямой, параллельной данной. Поэтому PQ
Искомая точка Q — пересечение AD с прямой, проведённой через P параллельно AC (при
