Решите уравнение x³ + 7x² = 4x + 28. (алгебра)

№

Кубическое уравнение, группировка

Решите уравнение $x^{3} + 7 x^{2} = 4 x + 28$ .

Решение

Перенесём всё влево и сгруппируем:

Отсюда , или .

Ответ

✓ dzmen.ru

№

Движение по реке

Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 140 км. Из $A$ в $B$ по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт $B$ , тотчас повернула обратно и возвратилась в $A$ . К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение

Плот плывёт со скоростью течения км/ч, поэтому он был в пути ч. Лодка вышла на час позже, значит, плыла ч.

Пусть км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. По течению она идёт со скоростью , против течения — .

Скорость не может быть отрицательной, поэтому .

Ответ

✓ dzmen.ru

км/ч

№

Кусочно-заданная функция, график

Постройте график функции $y = 5∣ x - 2∣ - x^{2} + 5 x - 6$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Раскроем модуль.

При : . Это парабола с вершиной и нулями и .

При : . Это парабола с вершиной , на этом промежутке она доходит до точки .

Таблица значений:

	-	-	-
	-

Посчитаем число общих точек прямой с графиком:

: одна точка.
: точки , , , то есть три точки.
: четыре точки.
: точка на левой ветви и две точки на правой, то есть три точки.
: две точки.
: одна точка.
: нет точек.

Ответ

✓ dzmen.ru

График построен: левая часть при , правая часть при . Ровно три общие точки при и .

№

Высота ромба

Высота $A H$ ромба $A B C D$ делит сторону $C D$ на отрезки $D H = 15$ и $C H = 2$ . Найдите высоту ромба.

Решение

Сторона ромба равна , и .

В прямоугольном треугольнике :

Ответ

✓ dzmen.ru

№

Доказательство равенства углов, вписанные углы

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ . Докажите, что углы $B B_{1} A_{1}$ и $B A A_{1}$ равны.

Решение

Точки и обозначены на чертеже буквами , .

Так как и — высоты, то и .

Из точек и отрезок виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром , и четырёхугольник вписан в эту окружность.

Углы и — вписанные, опираются на одну дугу и лежат по одну сторону от хорды . Поэтому они равны, что и требовалось доказать.

Ответ

✓ dzmen.ru

, доказано: точки лежат на окружности с диаметром , и оба угла вписанные, опираются на дугу .

№

Биссектриса и медиана перпендикулярны

В треугольнике $A B C$ биссектриса $B E$ и медиана $A D$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника $A B C$ .

Решение

Пусть — точка пересечения и .

В треугольнике отрезок является и биссектрисой, и высотой, поэтому он равнобедренный: , а — середина , то есть .

Так как — середина , то .

Обозначим , тогда . По свойству биссектрисы .

Введём координаты: , ось направим по . Пусть . Тогда

Из получаем , то есть .

Точка делит в отношении , то есть . Её абсцисса равна

Из получаем , то есть .

Тогда

Итак, и .

Для возьмём и :

Ответ

✓ dzmen.ru

, ,

Помогло?