№ . (вариант )Уравнение в частных производных первого порядка, задача Коши
Решить уравнение в частных производных первого порядка при заданных дополнительных условиях: yu∂x∂u+x∂y∂u=0, u=x2 при y=1. (Проверить нехарактеристичность условия Коши.)
Решение
Уравнение квазилинейное: , , правая часть равна .
. Проверка нехарактеристичности. Запишем начальную кривую параметрически:
Тогда
Определитель:
При
, то есть при
,
: условие Коши нехарактеристично, и решение существует и единственно в окрестности таких точек. В точке
(
,
)
, там кривая касается характеристического направления (в ней
).
. Характеристики.
Из
получаем первый интеграл
.
Из при :
то есть
— второй первый интеграл.
. Использование условия Коши. На кривой :
Исключаем
:
, значит
. Проверка.
При
:
. Условие выполнено.
💡 Почему так
Условие Коши для квазилинейного уравнения нехарактеристично, если . Тогда решение строится из первых интегралов характеристической системы, константы связываются через начальную кривую.
Ответ
Условие Коши нехарактеристично при (). Решение: (при ).
