Разложите на множители: а) x⁴ - 25y²; б) 4b² - 0,01c⁶; в)… (алгебра)

№ Разложение многочленов на множители

Разложите на множители:
а) $x^4 - 25y^2$ ;
б) $4b^2 - 0{,}01c^6$ ;
в) $8a^3 + c^3$ ;
г) $x^9 - 27$ ;
д) $9ab^2 - 16ac^2$ ;
е) $-20xy^3 + 45x^3y$ .

Решение

а) Применим формулу разности квадратов :

б) Применим формулу разности квадратов:

в) Применим формулу суммы кубов :

г) Применим формулу разности кубов :

д) Вынесем общий множитель за скобки, затем применим формулу разности квадратов:

е) Вынесем общий множитель за скобки, затем применим формулу разности квадратов:

(или, вынося

)

Ответ

а)
б)
в)
г)
д)
е)

№ Преобразование выражений

Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
а) $(a - 3)(a^2 - 8a + 5) - (a - 8)(a^2 - 3a + 5)$ ;

Решение

Раскроем скобки в каждом из слагаемых:

Раскроем первые скобки:
Раскроем вторые скобки:
Вычтем из первого выражения второе:

Полученное значение равно и не содержит переменную , следовательно, значение выражения не зависит от значения переменной.

Ответ

В результате преобразований выражение равно , следовательно, оно не зависит от значения переменной .

№ Преобразование рациональных дробей

Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:
а) $\frac{x^3 + 3x}{x + 2} - \frac{3x^2 - 14x + 16}{x^2 - 4} + 2x$ является положительным числом;

Решение

Область допустимых значений: и , то есть .

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов:

Приведём все слагаемые к общему знаменателю :

Раскроем скобки в числителе:

Сложим полученные многочлены:

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:

Подставим полученный числитель в дробь и сократим:

Так как при любых действительных , то:

Значение выражения равно , что является строго положительным числом при всех допустимых значениях переменной.

Ответ

Выражение тождественно равно . Так как , то при всех допустимых , что и требовалось доказать.

№ Доказательство тождеств

Докажите тождество

(a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2) = (ac + bd)(ad + bc).

Решение

Преобразуем левую часть тождества ():

Заметим, что слагаемые и взаимно уничтожаются:

Преобразуем правую часть тождества ():

Сравним многочлены левой и правой частей:

Так как , тождество доказано.

Ответ

Тождество доказано: обе части после раскрытия скобок и приведения подобных членов равны .

Помогло?