Прямые a и в пересекаются в точке A. Докажите, что прямая c, которая пересекает данные прямые и не проходит через точку A, лежит с ними в одной плоскости.
- Через пересекающиеся прямые a и b проходит единственная плоскость α.
- Пусть прямая c пересекает a в точке B, а b в точке C. Точки B и C различны: если бы B = C, то эта точка лежала бы и на a, и на b, то есть совпала бы с A, а c не проходит через A.
- Точки B и C лежат на прямой a и прямой b соответственно, поэтому
и . - Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Значит,
. - Следовательно, прямые a, b и c лежат в одной плоскости α.
Используется аксиома: через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна; и признак: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней.
Прямая c лежит в плоскости α, проходящей через a и b, так как две её точки B и C лежат в α. Что и требовалось доказать.
Прямая AB и точки C, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются.
Доказываем от противного.
- Допустим, прямые AB и CD пересекаются.
- Две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости β.
- Тогда прямая AB лежит в β, и точки C и D, лежащие на прямой CD, тоже лежат в β.
- Получается, что прямая AB и точки C, D лежат в одной плоскости. Это противоречит условию.
- Значит, предположение неверно, и прямые AB и CD не пересекаются.
Если бы прямые пересекались, через них проходила бы плоскость, содержащая и AB, и C, D.
Прямые AB и CD не пересекаются (они скрещивающиеся). Что и требовалось доказать.
В треугольной пирамиде SABC построить сечение плоскостью, которая проходит через сторону AB точку M, лежащую на середине ребра SC.
Построение:
- Точки A и B лежат в плоскости основания и в секущей плоскости, поэтому AB — сторона сечения (по грани ABC).
- Точка M лежит на ребре SC, то есть в граням SAC и SBC. Грань SAC содержит точки A и M, соединяем их: AM — сторона сечения в грани SAC.
- Грань SBC содержит точки B и M, соединяем их: BM — сторона сечения в грани SBC.
- Получаем треугольник ABM — искомое сечение. Других рёбер, кроме SC, плоскость внутри пирамиды не пересекает.
Сторонами сечения являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани; для каждой грани нужны две общие с плоскостью точки.
Сечение — треугольник ABM.
Построить сечение куба ABCD A₁B₁C₁D₁ плоскостью, которая проходит через диагональ B₁D₁ верхнего основания и точку M – середину ребра AA₁. Определить периметр сечения, если ребро куба равно 10 см.
Построение:
- B₁ и D₁ лежат в верхнем основании; отрезок B₁D₁ — сторона сечения.
- Точки M и B₁ лежат в грани AA₁B₁B, соединяем их: MB₁.
- Точки M и D₁ лежат в грани AA₁D₁D, соединяем их: MD₁.
- Сечение — треугольник MB₁D₁.
Периметр:
Точка M лежит на ребре AA₁, общем для двух боковых граней, поэтому сечение — треугольник; равенство MB₁ = MD₁ следует из равенства прямоугольных треугольников A₁MB₁ и A₁MD₁.
Сечение — равнобедренный треугольник MB₁D₁;
