Прямые a и b пересекаются. Прямая c является… (геометрия)

№ Прямые в пространстве

Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Прямая $c$ является скрещивающейся с прямой $a$ . Могут ли прямые $b$ и $c$ быть параллельными?

Решение

Пусть прямые и пересекаются в точке , и — плоскость, в которой они лежат.

Возьмём прямую , не лежащую в плоскости , например проходящую через точку, не лежащую в .

Прямая параллельна прямой , лежащей в , и сама в не лежит. Значит, и с прямой общих точек не имеет.
Если бы , то из следовало бы . Это противоречит тому, что и пересекаются.
Значит, не пересекает и не параллельна ей, то есть и скрещивающиеся. Все условия выполнены, а .

💡 Почему так

Две прямые скрещиваются, если не лежат в одной плоскости. Прямая, параллельная прямой плоскости и не лежащая в ней, не пересекает другие прямые этой плоскости, кроме тех, что пересекают исходную.

Ответ

✓ dzmen.ru

Да, могут.

№ Средняя линия трапеции и параллельность прямой и плоскости

Плоскость $α$ проходит через середины боковых сторон $A B$ и $C D$ трапеции $A B C D$ — точки $M$ и $N$ .
а) Докажите, что $A D ∥ α$ .
б) Найдите $B C$ , если $A D = 10$ см, $M N = 8$ см.

Решение

а) и — середины боковых сторон, поэтому — средняя линия трапеции, и .

Прямая лежит в плоскости . Прямая параллельна прямой из . Если лежала бы в , то плоскость содержала бы точки , , , . Тогда была бы плоскостью трапеции, а в условии — другая плоскость. Значит, не лежит в , и по признаку параллельности прямой и плоскости .

б) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

💡 Почему так

Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая вне плоскости параллельна некоторой прямой этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) доказано, ;
б) см.

№ Параллельность плоскостей в тетраэдре

В тетраэдре $A B C D$ точки $M$ , $N$ и $L$ — середины рёбер $B A$ , $B D$ и $B C$ .
а) Докажите, что плоскость $(M N L)$ параллельна плоскости $(A D C)$ .
б) Найдите площадь $△ M N L$ , если площадь $△ A D C$ равна 64 см $^{2}$ .

Решение

а) — средняя линия треугольника , поэтому .
— средняя линия треугольника , поэтому .

Две пересекающиеся прямые и плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым и плоскости . По признаку параллельности плоскостей .

б) — средняя линия треугольника , поэтому . Аналогично и .

Треугольники и подобны с коэффициентом (по трём сторонам). Отношение площадей равно :

💡 Почему так

Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) доказано, ;
б) см.

№ Построение точек и линий пересечения на кубе

По данным рисунка построить:
а) точку пересечения прямой $E F$ с плоскостями $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$
б) линию пересечения плоскостей $A D F$ и $E F D$

На рисунке: куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , точка $E$ лежит на ребре $B B_{1}$ , точка $F$ — на ребре $C C_{1}$ .

Решение

Точки и лежат в одной грани , поэтому прямая лежит в плоскости этой грани.

а) Построение:

Проводим прямую в плоскости грани .
Продолжаем (прямая — это пересечение плоскостей и ). Прямая пересекает продолжение за точкой в точке . Точка лежит на и в плоскости , значит, .
Продолжаем (пересечение плоскостей и ). Прямая пересекает продолжение за точкой в точке . Тогда .

б) Точка принадлежит обеим плоскостям: и . Точка тоже принадлежит обеим: , а . Две общие точки и задают линию пересечения плоскостей. Проводим прямую .

💡 Почему так

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Поэтому достаточно найти две общие точки плоскостей.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) (продолжение за ) — точка пересечения с плоскостью ; (продолжение за ) — точка пересечения с плоскостью ;
б) линия пересечения плоскостей и — прямая .

№ Параллельные прямые и плоскость, подобие треугольников

На рисунке прямая $P M$ пересекает плоскость $α$ в точке $M$ , $N \in P M$ , причём $M N : N P = 2 : 1$ , $P P_{1} ∥ N N_{1}$ , $N N_{1} = 14$ см, $P_{1}$ и $N_{1}$ — точки пересечения параллельных прямых с плоскостью $α$ .
Найдите длину отрезка $P P_{1}$ .

Решение

Параллельные прямые и задают плоскость, в которой лежат точки , , , , . Точки , , лежат на прямой пересечения этой плоскости с .

Треугольники и подобны: угол при вершине общий, а (соответственные углы равны).

Из условия получаем , , .

💡 Почему так

Две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Поэтому можно рассматривать плоский чертёж и использовать подобие треугольников.

Ответ

✓ dzmen.ru

см.

Помогло?

Прямые a и b пересекаются. Прямая c является скрещивающейся с прямой a.…