Прямая y = 7x - 5 параллельна касательной к графику… (алгебра)

№ Касательная к графику, параллельная прямой

Прямая $y = 7 x - 5$ параллельна касательной к графику функции $y = x^{2} + 6 x - 8$ . Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Касательная параллельна прямой , значит, её угловой коэффициент равен . Он равен значению производной в точке касания.

💡 Почему так

Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты, а угловой коэффициент касательной равен .

Ответ

№ Промежутки возрастания и убывания

Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1$ .

Решение

Найдём производную и её нули.

Парабола ветвями вверх, поэтому:

при и ;
при .

💡 Почему так

Где , функция возрастает, где , убывает.

Ответ

Возрастает на и , убывает на .

№ Точки максимума и минимума

Найдите точки максимума и минимума:
а) $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 3$ ;
б) $f (x) = e^{x} (2 x - 3)$ .

Решение

а) Найдём производную и её нули.

Знаки : «+» при , «−» на , «+» при . В точке знак меняется с «+» на «−», это максимум. В точке знак меняется с «−» на «+», это минимум.

б) Применим правило производной произведения.

Так как , при . При производная отрицательна, при положительна. Знак меняется с «−» на «+», это минимум. Максимумов нет.

💡 Почему так

Точка максимума — там, где производная меняет знак с «+» на «−», точка минимума — с «−» на «+».

Ответ

а) , ;
б) , точек максимума нет.

№ Точки минимума по графику производной

Функция $y = f (x)$ определена на промежутке $(- 7; 7)$ . На рисунке изображён график производной этой функции. Найдите точки минимума этой функции.

Решение

Точка минимума — это точка, где график производной пересекает ось снизу вверх, то есть знак меняется с «−» на «+». Значения читаем по рисунку приблизительно.

На график производной лежит ниже оси, .
В точке график переходит выше оси: «−» → «+». Это минимум.
На имеем .
В точке знак меняется с «+» на «−», это максимум.
На имеем .
В точке знак меняется с «−» на «+». Это минимум.
В точке знак меняется с «+» на «−», это максимум.
На график остаётся ниже оси, знак больше не меняется.

💡 Почему так

Касание оси без смены знака экстремума не даёт.

Ответ

№ Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) $f (x) = 2 x^{3} - 2, 5 x^{2} - x + 2$ на отрезке $[0; 2]$ ;
б) $f (x) = 3 x - 6 sin x$ на отрезке $[0; \frac{π}{2}]$ .

Решение

а) Найдём критические точки.

Отрезку принадлежит только . Вычислим значения в этой точке и на концах.

б) Найдём критические точки.

Вычислим значения.

Сравниваем: наибольшее значение равно , наименьшее равно .

💡 Почему так

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются в критических точках или на концах отрезка.

Ответ

а) наибольшее , наименьшее ;
б) наибольшее , наименьшее .

№ Построение графика функции

Построить график функции $y = x^{3} - 3 x^{2}$

Решение

Область определения: все .
Нули функции: , откуда и .
Производная: . Она равна нулю при и .

При имеем , функция возрастает.
На имеем , функция убывает.
При имеем , функция возрастает.

Значит, — максимум, , а — минимум, .

Таблица значений:

	-
	-		-	-

Ответ

График — кубическая парабола с максимумом в точке , минимумом в точке и пересечением оси в точке .

Помогло?

Прямая y = 7x - 5 параллельна касательной к графику функции y…