Прямая m принадлежит плоскости α, а прямая n… (геометрия)

№ Взаимное расположение прямых в пространстве

Прямая $m$ принадлежит плоскости $α$ , а прямая $n$ пересекает плоскость $α$ в точке, не принадлежащей прямой $m$ . Как расположены прямые $m$ и $n$ ?

Решение

Если бы и лежали в одной плоскости, то эта плоскость содержала бы и точку пересечения с . Точка не лежит на , поэтому такая плоскость совпала бы с . Тогда вся прямая лежала бы в , а это противоречит условию: пересекает в одной точке. Значит, и не лежат в одной плоскости. Они не пересекаются и не параллельны.

💡 Почему так

Прямая, пересекающая плоскость в точке, не лежащей на данной прямой плоскости, со всякой такой прямой скрещивается (признак скрещивающихся прямых).

Ответ

✓ dzmen.ru

Прямые и скрещивающиеся.

№ Прямые, параллельные плоскости

Точка $K$ не принадлежит плоскости $γ$ . Сколько можно провести прямых, которые проходят через точку $K$ и являются параллельными плоскости $γ$ ?

Решение

Через точку проведём плоскость . Такая плоскость существует и единственна. Любая прямая, проходящая через в плоскости , параллельна . Таких прямых бесконечно много.

💡 Почему так

Прямая параллельна плоскости, если она не пересекает её. Все прямые через в плоскости , параллельной , этому условию удовлетворяют.

Ответ

✓ dzmen.ru

Бесконечно много.

№ Двугранный угол

Линейный угол двугранного угла равен третьей части развёрнутого угла. Чему равен двугранный угол?

Решение

Развёрнутый угол равен .

💡 Почему так

Двугранный угол равен своему линейному углу.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Куб: пересечение плоскостей

$A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — куб (рис. 53). Укажите:

прямую пересечения плоскостей $A B D$ и $B B_{1} C_{1}$ ;
плоскость, которая проходит через прямые $B N$ и $A A_{1}$ .

Решение

Плоскость — это плоскость основания . Плоскость — плоскость грани . Общие точки этих плоскостей — и . Значит, они пересекаются по прямой .
Точка лежит на ребре . Поэтому прямые и пересекаются в точке и задают плоскость. Эта плоскость содержит прямую и точку , то есть это плоскость грани .

Ответ

✓ dzmen.ru

прямая ;
плоскость (то есть ).

№ Координаты вектора и его длина

Дано: $a (2; 1; - 4)$ , $b (3; 0; - 4)$ . Найдите:

координаты вектора $n = 3 a - 2 b$ ;
$∣ n ∣$ .

Решение

Считаем каждую координату отдельно.

Получаем .

Длина вектора:

Ответ

✓ dzmen.ru

;
.

№ Параллельность прямой и плоскости, средняя линия

Треугольник $A B C$ и прямоугольник $A B M N$ имеют общую сторону $A B$ и лежат в разных плоскостях. Через сторону $M N$ и точку $K$ — середину отрезка $A C$ — проведено плоскость, которая пересекает $B C$ в точке $L$ .

Докажите, что прямые $A B$ и $K L$ параллельны.
Найдите $K L$ , если $A B = 8$ см.
Определите вид четырёхугольника $N K L M$ .

Решение

В прямоугольнике имеем . Прямая лежит в секущей плоскости , а в ней не лежит. Поэтому плоскости . Плоскость проходит через и пересекает плоскость по прямой . Следовательно, .
, и — середина . Значит, — середина , а — средняя линия треугольника .

, при этом см, а см. Две стороны параллельны, но не равны. Стороны и не параллельны. Значит, — трапеция с основаниями и .

Ответ

✓ dzmen.ru

доказано;
см;
— трапеция.

№ Перпендикуляр к плоскости, теорема Пифагора

Через вершину $D$ прямоугольника $A B C D$ проведено прямую $D K$ , перпендикулярную его плоскости. $K A = 12$ см; $K B = 14$ см; $K C = 10$ см. Найдите:

$K D$ ;
площадь прямоугольника $A B C D$ .

Решение

Обозначим , , . Так как , треугольники , прямоугольные. Диагональ удовлетворяет , и тоже прямоугольный.

Из третьего и первого уравнений: .
Из третьего и второго: .
Тогда .

см.
Площадь прямоугольника:

Ответ

✓ dzmen.ru

см;
см.

Помогло?

Прямая m принадлежит плоскости α, а прямая n пересекает плоскость α в…