Постройте сечение треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью, проходящей через… (геометрия)

№ Сечения треугольной призмы

⚠️

Пункты а)–г) закрыты закрашенным пятном и не видны, поэтому не решены. Решены д), е), ж). Чтобы решить остальные, пришлите фото, где виден весь текст задания.

Постройте сечение треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через следующие точки:
д) середины рёбер $AA_1$ , $A_1C_1$ и точку пересечения медиан основания $ABC$ ;
е) центр грани $AA_1B_1B$ , середину ребра $B_1C_1$ и точку $M$ ребра $A_1C_1$ , если $A_1M : MC_1 = 1 : 2$ ;
ж) центр основания $ABC$ и центры боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ .

Решение

д) Пусть — середина , — середина , — точка пересечения медиан .

Прямая лежит в грани . Она пересекает прямую в точке . Так как — средняя линия треугольника -подобной конструкции, , и лежит между и .
Точки и лежат в плоскости основания . Прямая пересекает в точке и в точке . Если , , то , . Отсюда и .
Основания призмы лежат в параллельных плоскостях, поэтому плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. В верхнем основании проводим через прямую, параллельную . Она пересекает в точке (при этом ).
Соединяем последовательно точки, лежащие в одной грани: – (грань ), – (основание ), – (грань ), – (основание ), – (грань ).

Сечение — пятиугольник .

е) Пусть — центр грани (середина ), — середина , , .

Точки и лежат в плоскости . Прямая пересекает прямую в точке . Если , , то , . Отсюда : точка лежит на продолжении за , причём .
Точки и лежат в грани . Прямая пересекает в точке и в точке . При этом , .
Соединяем точки, лежащие в одной грани: – (верхнее основание), – (грань ), – (грань ), – (грань ).

Сечение — четырёхугольник .

ж) Пусть — центр основания , — центр грани , — центр грани .

и — середины отрезков и соответственно. Поэтому (средняя линия), и плоскость сечения параллельна прямой .
Плоскость пересекает основание по прямой, проходящей через параллельно . Она пересекает в точке и в точке , причём (свойство медианы: делит её в отношении от вершины).
Прямая пересекает в точке , при этом . Прямая пересекает в точке , при этом . Отрезок .
Соединяем –, –, –, –.

Сечение — трапеция с основаниями .

💡 Почему так

Чтобы построить сечение, сначала находят точки пересечения плоскости с рёбрами призмы. Для этого продлевают прямые, лежащие в одной грани, до пересечения с прямыми другой грани. Плоскость пересекает параллельные основания по параллельным прямым.

Ответ

д) пятиугольник , где , , , ;
е) четырёхугольник , где , ;
ж) трапеция , где , , , .
Пункты а)–г) не видны на фото.

Помогло?