Постройте сечение треугольной пирамиды DABC… (геометрия)

№ Построение сечений тетраэдра (пирамиды DABC)

Постройте сечение треугольной пирамиды $D A B C$ плоскостью, проходящей через следующие точки:
а) $B$ , $D$ и середину $M$ ребра $A C$ ;
б) $B$ и середины рёбер $A D$ и $C D$ ;
в) середину $K$ ребра $A D$ и точки $L$ и $M$ , лежащие на продолжениях рёбер $A B$ и $A C$ за точки $B$ и $C$ ;
г) середины рёбер $B C$ , $A D$ и точку $L$ , лежащую на продолжении ребра $A C$ за точку $C$ ;
д) середины $K$ , $L$ и $M$ рёбер $A D$ , $A B$ и $B C$ ;
е) $A$ , $C$ и точку пересечения медиан грани $A B D$ ;
ж) середины рёбер $A D$ , $C D$ и точку $L$ , лежащую на ребре $B C$ , если $B L : L C = 1 : 2$ ;
з) $K$ , $L$ и $M$ , лежащие на рёбрах $A D$ , $A B$ и $B C$ соответственно, если $A K : K D = B L : L A = B M : M C = 1 : 2$ ;
и) точки пересечения медиан граней $A B D$ , $B C D$ и $A B C$ ;
к) середины рёбер $B C$ , $C D$ и точку, лежащую на медиане $D M$ грани $A B D$ .

Решение

Сечение строим по правилу: если две точки плоскости лежат в одной грани, то прямая через них лежит в плоскости сечения, и её отрезок внутри грани является стороной сечения.

а) и лежат в грани , и лежат в грани . Проводим и . Отрезок — ребро. Сечение — треугольник .

б) Пусть — середина , — середина . и лежат в грани , и — в грани , и — в грани . Проводим , , . Сечение — треугольник .

в) ) и лежат в грани : прямая пересекает ребро в точке .
) и лежат в грани : прямая пересекает ребро в точке .
) и лежат в грани : проводим .
Прямая ребро не пересекает (она проходит вне отрезка ). Сечение — треугольник .

г) Пусть — середина , — середина .

и лежат в грани : прямая пересекает в точке .
и лежат в плоскости основания: прямая пересекает в точке .
Проводим (грань ), (основание), (грань ), (грань ).
Сечение — четырёхугольник .

д) и лежат в грани , и — в грани , и соединяем через грани: — середина , — середина . Пусть — не лежит в одной грани, поэтому строим по средним линиям: , . Плоскость пересекает грань по прямой, проходящей через параллельно (так как ), то есть через середину ребра . Сечение — четырёхугольник .

е) Точка пересечения медиан грани лежит на медиане, проведённой из к середине ребра . Значит, плоскость пересекает в точке (середина ). Проводим (грань ), (грань ), — ребро. Сечение — треугольник .

ж) Пусть — середина , — середина . как средняя линия треугольника . Значит, плоскость сечения пересекает основание по прямой, проходящей через параллельно , то есть по , где и . Проводим (грань ), (грань ). Сечение — трапеция .

з) Из получаем . Тогда плоскость пересекает грань по прямой, проходящей через параллельно : она пересекает в точке , где . Проводим (грань ), (основание), (грань ), (грань ). Сечение — трапеция .

и) Пусть , , — центроиды граней , , . Они делят медианы в отношении от вершины, поэтому прямая параллельна (оба отрезка отсекают медиан и от середины ребра ), а . Значит, плоскость сечения параллельна плоскости . Она пересекает рёбра , , в точках , , , для которых . Сечение — треугольник , подобный с коэффициентом .

к) Пусть — середина , — середина , — данная точка на медиане грани . (средняя линия треугольника ). Значит, плоскость сечения пересекает грань по прямой, проходящей через параллельно . Она пересекает в точке и в точке . Проводим (грань ), (основание). Сечение — трапеция .

💡 Почему так

Сечение многогранника — многоугольник, стороны которого лежат в гранях. Если две плоскости проходят через параллельные прямые, линия их пересечения параллельна этим прямым (поэтому в пунктах д, ж, з, и, к сечения строятся с помощью параллельных прямых).

Ответ

а) треугольник ;
б) треугольник , где — середина ;
в) треугольник , где , ;
г) четырёхугольник , где , ;
д) четырёхугольник , — середина ;
е) треугольник , — середина ;
ж) трапеция , , ;
з) трапеция , , ;
и) треугольник со сторонами, параллельными , , , на рёбрах , , , ;
к) трапеция , .

Помогло?

Постройте сечение треугольной пирамиды DABC плоскостью, проходящей через…