Постройте сечение треугольной пирамиды DABC… (геометрия)

№ Построение сечений тетраэдра (пирамиды DABC)

Постройте сечение треугольной пирамиды $D A B C$ плоскостью, проходящей через следующие точки:

а) $B$ , $D$ и середину $M$ ребра $A C$ ;

б) $B$ и середины рёбер $A D$ и $C D$ ;

в) середину $K$ ребра $A D$ и точки $L$ и $M$ , лежащие на продолжениях рёбер $A B$ и $A C$ за точки $B$ и $C$ ;

г) середины рёбер $B C$ , $A D$ и точку $L$ , лежащую на продолжении ребра $A C$ за точку $C$ ;

д) середины $K$ , $L$ и $M$ рёбер $A D$ , $A B$ и $B C$ ;

е) $A$ , $C$ и точку пересечения медиан грани $A B D$ ;

ж) середины рёбер $A D$ , $C D$ и точку $L$ , лежащую на ребре $B C$ , если $B L : L C = 1 : 2$ ;

з) $K$ , $L$ и $M$ , лежащие на рёбрах $A D$ , $A B$ и $B C$ соответственно, если $A K : K D = B L : L A = B M : M C = 1 : 2$ ;

и) точки пересечения медиан граней $A B D$ , $B C D$ и $A B C$ ;

к) середины рёбер $B C$ , $C D$ и точку, лежащую на медиане $D M$ грани $A B D$ .

Решение

Общий приём: если две точки сечения лежат в одной грани, соединяем их, и получаем след сечения на этой грани. Если точки не лежат в одной грани, продолжаем прямые до пересечения.

а) Точки и лежат в граням и , а лежит на .

— ребро, лежит в плоскости сечения.
— в грани , — в грани .
Сечение — треугольник .

б) Пусть — середина , — середина .

лежит в грани , — в грани , — в грани . Сечение — треугольник .

в) — середина ; на продолжении за , на продолжении за .

и лежат в плоскости . Пересечение .
и лежат в плоскости . Пересечение .
и лежат в грани , соединяем их.
Сечение — треугольник . Прямая проходит вне треугольника , поэтому в грани следа нет.

г) — середина , — середина , на продолжении за .

лежит в плоскости . Пересечение .
лежит в плоскости . Пересечение .
Соединяем – (грань ), – (грань ), – (грань ), – (грань ).
Сечение — четырёхугольник .

д) , , — середины , , .

— средняя линия треугольника , .
Плоскость сечения проходит через -параллельную прямую , поэтому в грани она пересекает грань по прямой, проходящей через параллельно . Эта прямая пересекает в её середине .
Соединяем –, –, –, –.
Сечение — четырёхугольник (параллелограмм со сторонами ).

е) Пусть — точка пересечения медиан грани , — середина .

Медиана грани проходит через , значит, лежит в плоскости сечения.
лежит в грани , — ребро.
Сечение — треугольник .

ж) — середина , — середина , .

— средняя линия треугольника , .
Значит, плоскость сечения параллельна и пересекает грань по прямой, проходящей через параллельно . Она пересекает в точке , при этом .
Соединяем –, –, –, –.
Сечение — трапеция с основаниями .

з) .

В треугольнике : , поэтому .
Плоскость сечения проходит через , значит, в грани она пересекает грань по прямой, проходящей через параллельно . Эта прямая пересекает в точке , причём .
Соединяем – (грань ), – (грань ), – (грань ), – (грань ).
Сечение — трапеция .

и) Пусть , , — точки пересечения медиан граней , , . Каждая из них лежит на медиане своей грани, проведённой из вершины , и делит её в отношении от .

Через в грани проводим прямую, параллельную . Она пересекает в и в , при этом .
Аналогично в грани через параллельно получаем на с .
Плоскость , и лежит в ней (она на медиане грани из на расстоянии ).
Сечение — треугольник , подобный с коэффициентом .

к) Пусть — середина , — середина , — середина , — точка на .

— средняя линия треугольника , .
Значит, плоскость сечения параллельна , и в грани она пересекает грань по прямой, проходящей через параллельно . Эта прямая пересекает в точке и в точке .
Соединяем – (грань ), – (грань ), – (грань ), – (грань ).
Сечение — трапеция с основаниями .

💡 Почему так

Сечение строят по следам плоскости на гранях: две точки в одной грани соединяют отрезком. Если плоскость содержит прямую, параллельную прямой в другой плоскости, то она пересекает эту плоскость по прямой, параллельной данной.

Ответ

а) треугольник ;
б) треугольник (, — середины , );
в) треугольник , где , ;
г) четырёхугольник , где , ;
д) параллелограмм , — середина ;
е) треугольник , — середина ;
ж) трапеция , , , ;
з) трапеция , , , ;
и) треугольник на , , , где ;
к) трапеция , где , , .

Помогло?

Постройте сечение треугольной пирамиды DABC плоскостью, проходящей через…