Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда… (геометрия)

№

Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $A_{1}$ , $N$ ( $N \in C C_{1}$ ) и $K$ ( $K \in A D$ ).

Решение

Точки и лежат в плоскости грани . Проводим прямую до пересечения с прямой в точке (на продолжении за точку ).
Точки и лежат в плоскости грани . Прямая пересекает ребро в точке .
Грани и параллельны, поэтому через проводим прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем с (обе точки лежат в верхней грани). Заодно .

Сечение — пятиугольник .

💡 Почему так

Сечение строят по следам: две точки одной грани задают отрезок сечения. Плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым.

Ответ

Пятиугольник , где , , , .

№

Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $A_{1}$ , $K$ ( $K \in A D$ ), $L$ ( $L \in D C$ ).

Решение

и лежат в грани , соединяем их: .
и лежат в основании , соединяем их: .
Основания и параллельны, поэтому плоскость пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной . Через проводим прямую, параллельную ; она пересекает ребро в точке .
и лежат в грани , соединяем их: .

Сечение — трапеция ().

💡 Почему так

Плоскость пересекает две параллельные плоскости (основания) по параллельным прямым.

Ответ

Трапеция , где , .

№

Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $B_{1}$ , $K$ ( $K \in A A_{1}$ ) и $L$ ( $L \in A D$ ).

Решение

и лежат в передней грани . Прямая пересекает прямую в точке (за точкой ).
и лежат в основании. Прямая пересекает ребро в точке .
и лежат в грани , соединяем их: .
Передняя и задняя грани параллельны, поэтому в грани через проводим ; она пересекает ребро в точке .
Соединяем с (грань ); при этом .

Сечение — пятиугольник .

💡 Почему так

След секущей плоскости на плоскости основания лежит на прямой , где — точка пересечения с прямой . Параллельные грани плоскость пересекает по параллельным прямым.

Ответ

Пятиугольник , где , , , .

№

Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $C_{1}$ , $K$ ( $K \in A B$ ) и $L$ ( $L \in A D$ ).

Решение

и лежат в основании. Прямая пересекает прямую в точке и прямую в точке (обе точки лежат на продолжениях сторон).
и лежат в плоскости грани . Прямая пересекает ребро в точке .
и лежат в плоскости грани . Прямая пересекает ребро в точке .
Последовательно соединяем точки, лежащие в одной грани: (грань ), (грань ), (грань ), (грань ), (основание).

Сечение — пятиугольник .

💡 Почему так

Прямая лежит в плоскости основания и в плоскости сечения. Её точки пересечения с прямыми и принадлежат и боковым граням, и сечению, поэтому через них находят точки на рёбрах и .

Ответ

Пятиугольник , где , , , .

Помогло?

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью…