Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через заданные точки:
- вершины A и B нижней грани и точка K на боковом ребре CC₁ (ближе к C₁);
- вершины A и D₁ и точка M на ребре BB₁ (примерно на трети длины от B);
- вершина D₁, точка K на ребре CC₁ и точка P на ребре AA₁ (обе примерно на четверти длины от нижних концов, вершины C и A).
На фото у точек нет букв, поэтому названия вершин и точек выбраны самостоятельно: A, B, C, D — передняя грань (A — внизу слева), A₁, B₁, C₁, D₁ — задняя грань.
Обозначения: переднюю грань обозначаем ABCD (A — внизу слева, B — внизу справа, C — вверху справа, D — вверху слева), заднюю — A₁B₁C₁D₁. Положение точек на рёбрах определено по фото приблизительно.
- Точки A и B лежат в плоскости нижней грани, значит, AB — след плоскости сечения на этой грани.
- Плоскости верхней и нижней граней параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной AB. Проводим через K прямую, параллельную DC. Она пересекает ребро DD₁ в точке L.
- Соединяем A с L (левая грань) и B с K (правая грань).
Сечение — трапеция ABKL (KL
- Точки A и D₁ лежат в левой грани, проводим AD₁.
- Точки A и M лежат в нижней грани, проводим AM.
- Левая и правая грани параллельны, значит, плоскость сечения пересекает правую грань по прямой, параллельной AD₁. Проводим через M прямую, параллельную AD₁. Она пересекает ребро B₁C₁ в точке N.
- Точки N и D₁ лежат в задней грани, соединяем их.
Сечение — параллелограмм AMND₁.
- D₁ и K лежат в верхней грани, проводим D₁K. D₁ и P лежат в левой грани, проводим D₁P.
- Нижняя грань параллельна верхней, поэтому через P проводим PQ
D₁K, Q лежит на ребре AB. - Правая грань параллельна левой, поэтому через K проводим KR
D₁P, R лежит на ребре BC. - Соединяем Q и R (передняя грань).
Сечение — пятиугольник D₁PQRK.
Если две параллельные грани пересекает плоскость, то линии пересечения параллельны. Это позволяет найти недостающие точки сечения.
- трапеция ABKL, где L лежит на DD₁ и KL
AB; - параллелограмм AMND₁, где N лежит на B₁C₁ и MN
AD₁; - пятиугольник D₁PQRK, где Q лежит на AB (PQ
D₁K), R лежит на BC (KR D₁P).
Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки:
- середина ребра DA (отмечена одинаковыми чёрточками), середина ребра DC (отмечена двойными чёрточками) и точка P на ребре BC (ближе к B);
- (параллельно ребру AB) точки K и M, где K — середина ребра DA, M лежит на ребре DC (ближе к D);
- точка K на ребре DA (ближе к A), точка M на ребре DC (ближе к D), точка N на ребре BC (ближе к B).
На фото у точек 1) и 3) нет букв, поэтому названия выбраны самостоятельно: вершины A, B, C, D, где D — верхняя.
Обозначения: D — верхняя вершина, ABC — основание. Положение точек определено по фото приблизительно.
- MN — средняя линия треугольника ADC, значит, MN
AC.
- Если прямая плоскости сечения параллельна прямой AC плоскости основания, то плоскость сечения пересекает основание по прямой, параллельной AC. Проводим через P прямую PQ
AC, Q лежит на AB.
- Соединяем N с P (грань DBC) и Q с M (грань DAB).
Сечение — трапеция MNPQ (MN
- В грани DAB проводим через K прямую KL
AB, L лежит на ребре DB (так как K — середина DA, L — середина DB). - Точки L и M лежат в грани DBC, соединяем их.
- Точки K и M лежат в грани DAC, соединяем их.
Сечение — треугольник KLM, KL
- K и M лежат в грани DAC. Продолжаем прямую KM до пересечения с прямой AC в точке X (X лежит за точкой A).
- X и N лежат в плоскости основания. Проводим XN, она пересекает ребро AB в точке Y. Для заданных соотношений AY = AB/
. - Соединяем Y с K (грань DAB).
Сечение — четырёхугольник KMNY.
Если две точки сечения лежат в одной грани, то отрезок между ними — сторона сечения. Если же две точки не лежат на одном ребре, то продолжаем прямую до пересечения с плоскостью основания и находим новую точку сечения.
- трапеция MNPQ, где M и N — середины DA и DC, PQ
AC, Q лежит на AB; - треугольник KLM, где L — середина DB и KL
AB; - четырёхугольник KMNY, где Y — точка пересечения прямой XN с AB, а X — точка пересечения прямых KM и AC.
