Параллелепипед MNPKM₁N₁P₁K₁. Доказать, что прямые… (геометрия)

Скрещивающиеся прямые в параллелепипеде

Параллелепипед $M N P K M_{1} N_{1} P_{1} K_{1}$ . Доказать, что прямые $P_{1} K$ и $M N$ скрещивающиеся.

Решение

Используем признак скрещивающихся прямых: если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Прямая лежит в плоскости основания , то есть в плоскости .
Прямая не лежит в этой плоскости: точка принадлежит верхнему основанию, а верхнее и нижнее основания параллелепипеда лежат в разных параллельных плоскостях, поэтому .
Прямая пересекает плоскость в точке , так как — вершина нижнего основания.
Точка не лежит на прямой : — параллелограмм, и его вершина не лежит на прямой, содержащей противоположную сторону (иначе параллелограмм вырождался бы).

Итак, лежит в плоскости , а пересекает эту плоскость в точке . По признаку прямые и скрещивающиеся. Что и требовалось доказать.

💡 Почему так

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости: они не пересекаются и не параллельны. Признак позволяет доказать это, найдя плоскость с одной прямой, которую другая прямая пересекает вне первой.

Ответ

Прямая лежит в плоскости основания, прямая пересекает эту плоскость в точке , не лежащей на , значит, и скрещивающиеся.

Помогло?

Параллелепипед MNPKM₁N₁P₁K₁. Доказать, что прямые P₁K и MN скрещивающиеся.