Начертите два неколлинеарных вектора a и b. Постройте векторы, равные: а)…

Возьмём $\stackrel{⃗}{}\overrightarrow{}$ с координатами и $\stackrel{⃗}{}\overrightarrow{}$ с координатами .

а) $\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$ — вектор той же направленности, что $\stackrel{⃗}{}$, длиной в раза короче: . $\stackrel{⃗}{}$ — вектор в раза длиннее $\stackrel{⃗}{}$: .

Откладываем от точки , от его конца откладываем (правило треугольника). Получаем $\stackrel{⃗}{}\overrightarrow{}$, .

б) $\stackrel{⃗}{}$, $\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$ — вектор, противоположно направленный $\stackrel{⃗}{}$, вдвое короче. Откладываем от , от его конца откладываем . Получаем $\stackrel{⃗}{}\overrightarrow{}$, .

а) По правилу параллелограмма: $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

б) — середина : $\overrightarrow{}\frac{}{}\overrightarrow{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

в) $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

г) $\overrightarrow{}\frac{}{}\overrightarrow{}\frac{}{}\overrightarrow{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$, поэтому $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$.

Пусть меньшее основание см, тогда большее см. Средняя линия равна полусумме оснований:

Большее основание: см.

а) Переставим слагаемые так, чтобы конец каждого вектора был началом следующего:

б) Заменим $\overrightarrow{}\overrightarrow{}$, $\overrightarrow{}\overrightarrow{}$ и расставим по цепочке:

Запишем вектор $\overrightarrow{{}_{}}$ четырьмя способами, обходя через вершины:

Сложим равенства:

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$ и $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$. Первая скобка равна $\stackrel{⃗}{}$. Аналогично третья скобка равна $\stackrel{⃗}{}$. Остаётся

Разделив на , получаем требуемое.

Возьмём $\stackrel{⃗}{}\overrightarrow{}$, $\stackrel{⃗}{}\overrightarrow{}$.

а) $\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$, $\stackrel{⃗}{}$ — вектор, противоположный $\stackrel{⃗}{}$, вдвое длиннее. Откладываем от , затем от его конца . Получаем $\stackrel{⃗}{}\overrightarrow{}$, .

б) $\stackrel{⃗}{}$, $\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$. Откладываем от , затем от его конца . Получаем $\stackrel{⃗}{}\overrightarrow{}$, .

а) $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$, поэтому $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

б) — середина : $\overrightarrow{}\frac{}{}\overrightarrow{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

в) $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

г) $\overrightarrow{}\frac{}{}\overrightarrow{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$, поэтому $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$.

Пусть меньшее основание см, тогда большее см. Средняя линия равна полусумме оснований:

Большее основание: см.

а) Расставим слагаемые по цепочке:

б) Заменим $\overrightarrow{}\overrightarrow{}$, $\overrightarrow{}\overrightarrow{}$:

(Здесь — вершины , — точка .)

Запишем $\overrightarrow{{}_{}}$ четырьмя способами:

Сложим:

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$, $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$. Значит, первая скобка равна $\stackrel{⃗}{}$, и так же третья скобка равна $\stackrel{⃗}{}$. Остаётся

Разделив на , получаем требуемое равенство.