На отрезке AB отмечены точки C и D. а) Найдите… (геометрия)

Б, Длина отрезка, взаимное расположение точек

На отрезке $A B$ отмечены точки $C$ и $D$ .
а) Найдите длину отрезка $A D$ , если $A C = 1, 2$ см, $B C = 5$ см, $B D = 3, 8$ см.
б) Какая из данных точек лежит между точками $B$ и $C$ ?

Решение

а) Точка лежит на , поэтому

Точка

тоже лежит на

, поэтому

б) Так как

, порядок точек на отрезке:

. Между

лежит точка

💡 Почему так

Если точка лежит на отрезке, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей.

Ответ

а) см; б) точка .

Б, Биссектриса угла, вертикальные углы

На рисунке $B N$ — биссектриса угла $M B C$ .
а) Найдите $∠ N B C$ , если он на $1 5^{\circ}$ меньше угла $A B M$ .
б) Постройте угол $A B K$ , вертикальный с углом $M B C$ , и найдите его градусную меру.
в) Найдите градусную меру угла $N B K$ .

Решение

а) Пусть . Так как — биссектриса, и . Углы и смежные, значит . По условию .

Проверка:

, и

б) Построение: продолжаем луч за точку и получаем луч . Угол вертикальный с углом , поэтому

в) Лучи

дополнительные, поэтому

(развёрнутый угол). Тогда

💡 Почему так

Биссектриса делит угол пополам, сумма смежных углов равна , вертикальные углы равны.

Ответ

а) ; б) ; в) .

Б, Перпендикулярные прямые, угол между прямыми

Через точку $O$ проведены прямые $a, b, c, d$ так, что $a ⊥ b$ , $c ⊥ d$ . Найдите острый угол между прямыми $a$ и $d$ , если тупой угол между прямыми $b$ и $c$ равен $11 0^{\circ}$ .

Решение

Расположим вдоль оси, тогда образует с тупой угол , то есть острый угол .
Прямая получается из поворотом на , а прямая из — поворотом на в ту же сторону. Значит, угол между и такой же, как между и : острый угол равен

💡 Почему так

При повороте пары прямых на угол между ними не меняется.

Ответ

Б, Длина отрезка, взаимное расположение точек

На отрезке $A B$ отмечены точки $C$ и $D$ .
а) Найдите длину отрезка $B D$ , если $A C = 2, 4$ см, $C B = 7, 6$ см, $A D = 6$ см.
б) Какая из данных точек лежит между точками $B$ и $C$ ?

Решение

а) см. Тогда

б) Так как

, порядок точек:

. Между

лежит точка

💡 Почему так

Длина отрезка равна сумме длин его частей.

Ответ

а) см; б) точка .

Б, Биссектриса угла, вертикальные углы

На рисунке $B M$ — биссектриса угла $A B N$ .
а) Найдите $∠ A B M$ , если он на $1 5^{\circ}$ больше угла $N B C$ .
б) Постройте угол $C B K$ , вертикальный с углом $A B N$ , и найдите его градусную меру.
в) Найдите градусную меру угла $M B K$ .

Решение

а) Пусть . Так как — биссектриса, и . Углы и смежные, значит . По условию .

Проверка:

, и

б) Построение: продолжаем луч за точку и получаем луч . Угол вертикальный с углом , поэтому

в) Лучи

дополнительные, поэтому

(развёрнутый угол). Тогда

💡 Почему так

Биссектриса делит угол пополам, сумма смежных углов равна , вертикальные углы равны.

Ответ

а) ; б) ; в) .

Б, Перпендикулярные прямые, угол между прямыми

Через точку $O$ проведены прямые $a, b, c, d$ так, что $a ⊥ b$ , $c ⊥ d$ . Найдите тупой угол между прямыми $a$ и $c$ , если острый угол между прямыми $b$ и $d$ равен $2 0^{\circ}$ .

Решение

Прямая получается из поворотом на , а прямая из — поворотом на в ту же сторону. Значит, угол между и такой же, как между и : острый угол равен . Тупой угол равен

💡 Почему так

При повороте пары прямых на угол между ними не меняется; острый и тупой углы между двумя прямыми в сумме дают .

Ответ

Помогло?

На отрезке AB отмечены точки C и D. а) Найдите длину отрезка…