На окружности отмечены 27 точек. Рядом с каждой точкой записали натуральное…

Вероятность и статистика9 классРешено по фото 15 октября 2026 в 05:27

№ Граф из точек на окружности, отрезки с простыми отношениями

На окружности отмечены 27 точек. Рядом с каждой точкой записали натуральное число так, что все 27 записанных чисел различны. Две точки соединили отрезком, если отношение чисел, записанных рядом с этими точками, равно простому числу. На отрезках написали эти простые числа. Оказалось, что все написанные простые числа различны. Какое максимальное количество отрезков может быть проведено?

Решение

Оценка. Предположим, что в проведённых отрезках есть цикл . Пусть числа в вершинах равны . Тогда

Каждая дробь равна или , где — простое число на соответствующем отрезке. Все простые числа на отрезках различны, поэтому в произведении каждое простое входит ровно в одной степени, или . Такое произведение не может равняться . Значит, цикла нет, и граф является лесом. В лесу из вершин не больше рёбер.

Пример на отрезков. Возьмём различных простых чисел и запишем числа:

Все числа различны (каждое следующее больше предыдущего).
Для соседних точек — простое число, и все эти простые различны.
Для несоседних точек — произведение не менее двух простых, то есть составное число. Лишних отрезков нет.

Получаем ровно отрезков.

💡 Почему так

Цикл невозможен: произведение отношений по циклу равно , а при различных простых числах оно не может быть единицей. Значит, граф — лес, и рёбер не больше, чем вершин минус один.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Есть ещё задание?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.

Решить по фото

Решить своё по фото