На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили… (геометрия)

№ Свойства параллелограмма, равенство треугольников

⚠️

Не решены: задание из В- (обрезано внизу фото, не видно, периметр какой фигуры нужно найти) и задание из предыдущего варианта (виден только конец условия). Чтобы решить их, переснимите ближе и крупнее, чтобы условие было видно целиком.

На диагонали $B D$ параллелограмма $A B C D$ отметили точки $E$ и $F$ так, что $∠ B C E = ∠ D A F$ (точка $E$ лежит между точками $B$ и $F$ ). Докажите, что $C E = A F$ .

Решение

Рассмотрим треугольники и .

как противоположные стороны параллелограмма.
, так как это накрест лежащие углы при параллельных и и секущей (точки и лежат на , поэтому , ).
по условию.

Значит, по стороне и двум прилежащим углам. Тогда у них равны соответственные стороны: .

💡 Почему так

Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, а равные треугольники имеют равные соответственные стороны.

Ответ

✓ dzmen.ru

Доказано: по второму признаку, поэтому .

№ Биссектриса угла параллелограмма, периметр

В параллелограмме $A B C D$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $B C$ в точке $E$ . Отрезок $B E$ больше отрезка $E C$ в 3 раза. Найдите периметр параллелограмма, если $B C = 12$ см.

Решение

Пусть , тогда и , откуда , см.

, — секущая, поэтому (накрест лежащие). Но , так как — биссектриса. Значит, , треугольник равнобедренный и см.

💡 Почему так

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник, так как накрест лежащие углы при параллельных прямых равны.

Ответ

✓ dzmen.ru

см

№ Признак параллелограмма

Прямая проходит через середину диагонали $A C$ параллелограмма $A B C D$ и пересекает стороны $B C$ и $A D$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $A M C K$ — параллелограмм.

Решение

Пусть — середина , то есть . Рассмотрим треугольники и .

.
как вертикальные.
как накрест лежащие при и секущей .

Значит, по стороне и двум прилежащим углам, откуда .

В четырёхугольнике диагонали и пересекаются в точке и делятся ею пополам (, ). Следовательно, — параллелограмм по признаку.

💡 Почему так

Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то он параллелограмм.

Ответ

✓ dzmen.ru

Доказано: , , поэтому — параллелограмм.

№ Периметр параллелограмма

Одна из сторон параллелограмма в 5 раз больше другой, а его периметр равен 36 см. Найдите стороны параллелограмма.

Решение

Пусть меньшая сторона равна см, тогда большая равна см. Периметр:

Большая сторона: см.

💡 Почему так

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух смежных сторон, так как противоположные стороны равны.

Ответ

✓ dzmen.ru

см и см (две стороны по см, две по см)

Помогло?

На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки E и F так, что…