Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и… (геометрия)

Построение сечений параллелепипеда

Изобразите параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро $C C_{1}$ и точку пересечения диагоналей грани $A A_{1} D_{1} D$ ; б) точку пересечения диагоналей грани $A B C D$ параллельно плоскости $A B_{1} C_{1}$ .

Решение

а) Чертёж:

Пусть — точка пересечения диагоналей и грани .

Плоскость сечения содержит , а . Значит, плоскость сечения параллельна ребру , и грань она пересекает по прямой, проходящей через параллельно .
Проводим через прямую , где , . Так как — середина , то и — середины и .
Соединяем с (в грани ) и с (в грани ).
(обе параллельны ), поэтому — параллелограмм. Это искомое сечение.

б) Чертёж:

Плоскость содержит и . Так как , она проходит и через , то есть это плоскость .
Пусть — центр грани (середина ). В плоскости проводим через прямую, параллельную . Она пересекает в точке и в точке . Это середины и .
В грани проводим через прямую , . По теореме Фалеса — середина .
В грани проводим через прямую , . Точка — середина .
Соединяем с . Так как , все стороны сечения параллельны прямым плоскости , значит, плоскости параллельны.

Сечение — параллелограмм , у которого — середины рёбер , , , .

💡 Почему так

Если плоскость содержит прямую, параллельную ребру, то в каждой грани, где есть это ребро, след плоскости параллелен ему. Плоскость, параллельная данной, пересекает грани по прямым, параллельным прямым данной плоскости.

Ответ

а) Сечение — параллелограмм , где и — середины рёбер и .
б) Сечение — параллелограмм , где — середины рёбер , , , .

Помогло?

Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью…