Изобразить схематически график функции и указать её… (алгебра)

№

Степенная функция с целым показателем: график и свойства

Изобразить схематически график функции и указать её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу):

$y = x^{6}$ ;
$y = x^{5}$ ;
$y = x^{7}$ ;
$y = x^{- 2}$ ;
$y = x^{- 3}$ ;
$y = x^{6}$ .

Решение

Пункты ) и ) в учебнике совпадают, решаются одинаково.

), ) — чётная степень, график — парабола типа , симметричная относительно оси .

x	-	-
y

, наименьшее значение при , вверх значения неограниченно растут. Ограничена снизу, сверху не ограничена.

) — нечётная степень, график симметричен относительно начала координат, функция возрастает.

x	-	-
y	-	-

Значения принимает любые, не ограничена ни сверху, ни снизу.

) — аналогично : нечётная степень, возрастает.

x	-,	-			,
y	-,	-			,

Не ограничена ни сверху, ни снизу.

) — определена при , чётная, всегда положительна.

x	-	-	-,	,
y	,					,

При значения стремятся к , но не достигают; при неограниченно растут. Ограничена снизу (например, числом ), сверху не ограничена.

) — определена при , нечётная, график в I и III четвертях.

x	-	-	-,	,
y	-,	-	-			,

Не ограничена ни сверху, ни снизу.

💡 Почему так

Чётная степень даёт неотрицательные значения (при отрицательном показателе — положительные), нечётная — значения обоих знаков. Отрицательный показатель исключает .

Ответ

), ) , , ограничена снизу, сверху нет.
) , не ограничена.
) , не ограничена.
) , , ограничена снизу, сверху нет.
) , , не ограничена.

№

Построение графиков степенных функций

В одной системе координат построить графики функций, находя сначала их области определения и множества значений:

$y = x^{3}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$ ;
$y = x^{4}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$ ;
$y = x^{2}$ и $y = x^{- 2}$ ;
$y = x^{5}$ и $y = x^{- 5}$ .

Решение

) : , . (степень с дробным показателем, ): , . Графики симметричны относительно прямой (при ) и пересекаются в точках и .

x		,
		,
		,		,

) : , . : , . Пересечение: , .

x		,
		,
		,		,

) : , . : , . Оба чётные; пересекаются в и .

x	±,	±	±
	,
			,

) : , . : , . Оба нечётные; пересекаются в и .

x	±,	±	±,
	±,	±	±,
	±	±	±,

💡 Почему так

Графики и при симметричны относительно прямой как взаимно обратные функции.

Ответ

: ; : .
: , ; : .
: , ; : , .
: ; : , .

Помогло?

Изобразить схематически график функции и указать её область определения и…