Исследуйте функцию с помощью производной и… (алгебра)

Исследование функции с помощью производной и построение графика

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график: $y = \frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{3}}{3} - x^{2}$

Решение

. Область определения. .

. Чётность. и , значит, функция ни чётная, ни нечётная. Периодической она не является.

. Пересечения с осями.
При : , то есть точка .
При : .
Отсюда или .

Получаем

. Монотонность и экстремумы.

при

x
	−		+		−		+
	убывает	min	возрастает	max	убывает	min	возрастает

. Выпуклость и точки перегиба.

при

, то есть

При и : , график вогнутый (выпуклый вниз).
При : , график выпуклый вверх.

Точки перегиба: и .

. Дополнительные точки.

x	−	−
y	,	−,		−,	−,	,

. График.

💡 Почему так

Знак производной показывает промежутки возрастания и убывания. Знак второй производной показывает выпуклость графика. Там, где он меняется, находится точка перегиба.

Ответ

Область определения — все числа; функция общего вида.
Нули: , , .
Возрастает на и , убывает на и .
, ; , ; , .
Точки перегиба при : вогнутый при и , выпуклый между ними.
График построен по найденным точкам.

Помогло?

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график: y=x⁴/4-x³/3-x²