Исследуйте функцию, используя производные, и… (алгебра)

Исследование функции с помощью производной и построение графика

Исследуйте функцию, используя производные, и постройте её график: $y = x^{3} + 3 x$ .

Решение

Область определения: .
Чётность: . Функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат.
Нули функции: . Так как , единственный корень . График проходит через точку .
Первая производная:

Так как , то при всех . Критических точек нет, экстремумов нет, функция возрастает на всей числовой прямой.
Вторая производная:

при .

При : , график выпуклый вверх.
При : , график выпуклый вниз.

Точка — точка перегиба. Угловой коэффициент касательной в ней .

Таблица значений:

	-	-
	-	-

Строим график по точкам с учётом возрастания и выпуклости.

💡 Почему так

Если на всём промежутке, функция возрастает. Знак показывает направление выпуклости, а смена знака означает точку перегиба.

Ответ

Область определения — все действительные числа. Функция нечётная. Единственный нуль . , функция возрастает на , экстремумов нет. : выпукла вверх при , вниз при , точка перегиба . График — кубическая парабола через точки , , , , .

Помогло?

Исследуйте функцию, используя производные, и постройте её график: y = x³ +…