Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n…

Вероятность и статистика9 классРешено по фото 14 октября 2026 в 12:04

№ Игра с монетами: выигрышные позиции

Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит $n$ монет. За один ход первый игрок может снять со стола 1, 2 или 3 монеты, второй — 2, 3 или 4. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. При каких $n$ первый игрок выиграет независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты: 60; 61; 62; 63; 64 (под вариантом 64 виден край ещё одного варианта, он не читается)

Решение

Ходит первый. Пусть — первый выигрывает, если его ход и на столе монет; — второй выигрывает, если его ход и на столе монет.

Если ходить нельзя, игрок проигрывает: ложно, и ложны.

Позиция выигрышная, если есть ход в проигрышную позицию соперника. Считаем по порядку:


	нет	да	да	да	да	нет	да	да	да	да	нет	да
	нет	нет	да	да	да	нет	нет	да	да	да	нет	нет

Значения повторяются с периодом : первый проигрывает ровно при , кратных . Объяснение: если кратно , то на любой ход первого () второй отвечает так, чтобы вернуть кратное ; если не кратно , первый сразу снимает монеты и оставляет кратное (при остатке , , , он снимает , , монеты или, при остатке , делает ход в позицию, проигрышную для второго).

Проверка вариантов: делится на — первый проигрывает; , , , не делятся на — первый выигрывает.

💡 Почему так

Первый игрок проигрывает тогда и только тогда, когда кратно . Во всех остальных случаях у него есть выигрышная стратегия.

Ответ

✓ dzmen.ru

, , ,

Помогло?

Есть ещё задание?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.

Решить по фото

Решить своё по фото