Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD… (геометрия)

№

Признаки параллелограмма

Докажите, что выпуклый четырёхугольник $A B C D$ является параллелограммом, если: а) $∠ B A C = ∠ A C D$ и $∠ B C A = ∠ D A C$ ; б) $A B ∥ C D$ , $∠ A = ∠ C$ .

Решение

а) Углы и равны и являются накрест лежащими при прямых и и секущей . Значит, .

Углы и равны и являются накрест лежащими при прямых и и секущей . Значит, .

У четырёхугольника противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он параллелограмм.

б) Так как , сумма односторонних углов при секущей равна :

Так же при секущей :

Поскольку , из этих равенств получаем и , то есть .

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна :

Подставим и :

Отсюда . Это односторонние углы при прямых и и секущей , значит, .

Итак, и , поэтому — параллелограмм.

💡 Почему так

Признак параллелограмма: если у четырёхугольника противоположные стороны попарно параллельны, он параллелограмм. Параллельность доказываем через равенство накрест лежащих углов или сумму односторонних углов .

Ответ

а) и по равенству накрест лежащих углов, значит, — параллелограмм.
б) Из и получаем , то есть ; значит, — параллелограмм.

№

Периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) одна сторона на 3 см больше другой; б) разность двух сторон равна 7 см; в) одна из сторон в 2 раза больше другой.

Решение

Полупериметр: см, то есть сумма двух соседних сторон см. Противоположные стороны параллелограмма равны.

а) Пусть одна сторона см, тогда другая см.

Другая сторона: см.

б) Пусть меньшая сторона см, тогда большая см.

Большая сторона: см.

в) Пусть одна сторона см, тогда другая см.

Другая сторона: см.

💡 Почему так

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому периметр равен , а сумма соседних сторон — половине периметра.

Ответ

а) , см и , см (стороны ,; ,; ,; , см)
б) , см и , см
в) см и см

Помогло?

Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а)…