Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы…

Пусть — высота, — биссектриса, — медиана треугольника . Так как треугольник неравнобедренный, можно считать, что (иначе поменяем названия и ).

. Положение относительно . По свойству биссектрисы , поэтому . Значит, , и точка лежит между и .

. Положение относительно . Так как , то против большей стороны лежит больший угол: . Тогда острый (сумма ).

Сравним углы:

Из прямоугольного треугольника при остром : .

Так как , то , откуда . То есть .

Значит, луч лежит внутри угла и пересекает . Тогда лежит между и .

Если прямой, то . Если тупой, то лежит на продолжении за точку . В обоих случаях не лежит на луче дальше .

. Вывод. На прямой точки расположены в порядке     (или , , ). Точка лежит между и , причём , . Что и требовалось доказать.