Докажите, что четырёхугольник ABCD является… (геометрия)

№

Доказательство, что четырёхугольник — прямоугольник, и площадь

⚠️

Задание внизу второго фото обрезано (видно только начало), его не решала. Чтобы его решить, пришли фото нижней части страницы крупнее.

Докажите, что четырёхугольник $A B C D$ является прямоугольником, и найдите его площадь, если:
а) $A (- 3; - 1)$ , $B (1; - 1)$ , $C (1; - 3)$ , $D (- 3; - 3)$ ;
б) $A (4; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (- 1; 4)$ , $D (0; 0)$ .

Решение

Признак: параллелограмм с прямым углом — прямоугольник. Параллелограмм доказываем равенством векторов , прямой угол — перпендикулярностью сторон.

а) , . Векторы равны, значит — параллелограмм.
. Сторона горизонтальна, вертикальна, поэтому . Значит, — прямоугольник.
, , .

б) , . Векторы равны, значит — параллелограмм.
.
Скалярное произведение: , значит . Следовательно, — прямоугольник.
, , .

💡 Почему так

Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Перпендикулярность векторов проверяется равенством нулю скалярного произведения.

Ответ

а) прямоугольник,
б) прямоугольник (даже квадрат),

№

Середина гипотенузы равноудалена от вершин

Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Решение

Пусть — прямоугольный треугольник с прямым углом , — середина гипотенузы . Введём систему координат: , на оси , на оси , где , .

Середина :

Расстояния от

до вершин:

Значит,

, что и требовалось доказать.

💡 Почему так

Метод координат: вершины прямоугольного треугольника удобно поместить на оси, прямой угол — в начало координат.

Ответ

, то есть равноудалена от всех вершин.

№

Сумма квадратов сторон и диагоналей параллелограмма

Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Решение

Пусть — параллелограмм. Введём систему координат: , на оси , . Так как , то .

Квадраты сторон и диагоналей:

Противоположные стороны равны (

), поэтому

Сумма квадратов диагоналей:

Правые части равны, следовательно

что и требовалось доказать.

💡 Почему так

Параллелограмм удобно располагать так, чтобы одна вершина была в начале координат, а соседняя лежала на оси . Тогда четвёртая вершина находится по равенству векторов .

Ответ

Обе суммы равны , значит они равны между собой.

Помогло?

Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его…