Диагональ AC квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку A…

1. Диагональ квадрата делит его угол пополам, поэтому .

2. В треугольнике угол прямой, так как . Значит, .

3. Углы при стороне равны, значит, треугольник равнобедренный: см.

4. Аналогично из треугольника получаем см.

5. Точка лежит на отрезке , поэтому
   

    

1. Треугольник : , . Тогда , треугольник равнобедренный, и .

2. Прямоугольные треугольники () и () имеют общую гипотенузу и равные катеты . Значит, они равны по гипотенузе и катету, и .

3. Из пунктов и следует .

1. В треугольнике : , , значит, и (катет лежит против угла ).

2. . Углы при основании равны, значит, трапеция равнобедренная и .

3. Так как , то . Треугольник равнобедренный: .

4. Пусть . Тогда и .
   

   
   
    

Пусть при основании . Продолжим боковые стороны и до пересечения в точке . Пусть и — середины и .

1. В треугольнике : . Треугольник тоже прямоугольный, так как .

2. и — медианы, проведённые к гипотенузам. Поэтому и .

3. Точки , , лежат на одной прямой. Из следует . Из следует . А как соответственные углы при . Лучи и образуют с равные углы, поэтому совпадают.

4. Так как лежит между и :
   

Пусть на сторонах и треугольника построены квадраты, , , , . — медиана. Надо доказать, что .

1. Продолжим за точку на её длину: . Диагонали и делятся точкой пополам, значит, — параллелограмм и .

2. (углы параллелограмма при стороне ), .

3. .

4. Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними: , , .

5. Значит, .

Пусть — ромб, — точка пересечения диагоналей.

1. Треугольник равнобедренный (), а диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому — медиана. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой, значит, .

2. — середина и , поэтому точки и симметричны относительно прямой . Точки и лежат на этой прямой и переходят сами в себя.

3. При симметрии относительно вершины ромба переходят в вершины, а значит, стороны — в стороны. Ромб переходит сам в себя, и — ось симметрии.

4. Аналогично для прямой : и — середина , поэтому и симметричны относительно .

Пусть — точка пересечения диагоналей параллелограмма .

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: , .

2. Значит, при симметрии относительно точки вершина переходит в , в , в , в .

3. Стороны переходят в стороны: , . Параллелограмм переходит сам в себя.

4. Следовательно, — центр симметрии параллелограмма.

Пусть даны параллельные прямые и . Проведём прямую , параллельную им и равноудалённую от обеих. Возьмём любую точку на прямой .

1. Симметрия относительно переводит прямую в параллельную ей прямую (центральная симметрия сохраняет направление прямой).

2. Расстояние от до равно расстоянию от до , поэтому образом является , а образом является . Пара прямых переходит сама в себя.

3. Для точки вне прямой образ не совпадёт с или , поэтому такие точки центрами не являются.

Центрами симметрии служат все точки прямой , то есть их бесконечно много.

Пусть фигура имеет перпендикулярные оси симметрии и , пересекающиеся в точке . Введём систему координат: — начало, — ось , — ось .

1. Возьмём любую точку фигуры. Симметрия относительно даёт точку , она принадлежит фигуре.

2. Симметрия точки относительно даёт точку , она тоже принадлежит фигуре.

3. Точка симметрична точке относительно начала координат .

4. Итак, для каждой точки фигуры симметричная ей относительно точка тоже принадлежит фигуре. Значит, — центр симметрии фигуры.